Системы образующих. Циклические группы

группы  целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

2. В  § 4 было отмечено, что всякая подстановка п-ж степени являет-

является  произведением транспозиций. Отсюда следует, что одной из систем

образующих  симметрической группы и-й степени  будет множество всех

транспозиций, содержащихся в этой группе. Симметрическая группа п-ш

-степени  может быть порождена также  двумя образующими элементами:

а = A 2), b = A 2 ... п).

Действительно,

kk —2.

Если  теперь i -< / — 1, то

(/, /-1) ... (i + 2, i + l)(i, i + l)(i + l, i + 2) ... (у-1,/) = (*/),

т. е. подгруппа {а, Ь} содержит все транспозиции и поэтому совпадает

«о  всей симметрической группой. 3. Числа

\ ±  ± _L _L

i, 2 , 6 , 24 , • .., л, , ...

составляют  систему образующих для аддитивной группы рациональных

чисел R. Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество этого

множества также будет системой образующих для R. Больше того, можно

доказать, что аддитивная группа рациональных чисел R не имеет ни

одной неприводимой системы образующих. Действительно, пусть М есть

некоторая система образующих для R и пусть  а есть произвольный эле-

элемент из М. Обозначим через Н подгруппу, порожденную множеством М',

состоящим из всех элементов множества М, кроме  а; множество М' не

может быть пустым, так как иначе все  рациональные числа были бы

кратными  числу а, что невозможно. Если Ъ  есть произвольный элемент

из  М', то из свойств рациональных чисел  следует существование такого

целого  числа к, отличного от нуля, что  число ка будет уже кратным  числу

Ь, и  поэтому будет содержаться в  подгруппе Н. Число -г- а, принадлежащее

гС

к группе R, может быть записано в виде суммы конечного числа

рациональных  чисел, кратных некоторым числам из М, т. е. может быть пред-

представлено  в виде

-г-  а = sa-\- h,

где s есть некоторое целое число, равное, быть может, нулю, а Л —

некоторый элемент из подгруппы Н. Отсюда

а = s (ка) -\-lch,

т. е. а содержится в Я и поэтому  Н = R. Множество М' является,

следовательно, системой образующих для группы R.

4. Мультипликативная  группа положительных рациональных  чисел

обладает  неприводимой системой образующих, состоящей  из всех про-

простых чисел.

Если  группа G обладает системой образующих, состоящей из

конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом

образующих. Таковы, очевидно, все конечные и  все циклические группы.

Пример  бесконечной циклической группы показывает, что из конечно-

конечности  числа образующих не следует конечность самой группы.

Всякая  система образующих группы с конечным числом образующих

содержит  конечное подмножество, являющееся неприводимой системой

образующих  этой группы.

Так как конечная система образующих всегда может быть сделана

неприводимой  путем удаления лишних элементов, то нужно лишь дока-

доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система

образующих  содержит конечное подмножество, также  являющееся системой

образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с

образующими аи а2, ¦ ¦ ., ап,

G = {at, а2, ..., ап),

и пусть  М есть некоторая другая система  образующих этой группы.

Всякий  элемент at, i = 1, 2, . . ., га, записывается в  виде произведения

степеней  конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого

щ одну из таких записей и собирая  те элементы из М, которые входят  в эти записи для i = 1, 2, . . ., га, мы получим конечное подмножество

М' из М, порожденная которым подгруппа {М'} содержит все элементы

at, а2, . . ., ап и поэтому совпадает с G.

Заметим, что различные неприводимые системы  образующих группы

с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, раз-

различное число элементов (см. пример 1).

Всякий  гомоморфный образ группы с конечным числом образующие

сам является группой с конечным числом образующих. Действительно, если

G = {й1, а2, ¦ ¦ ., ап} и если гомоморфизм ф отображает группу G на

группу G, то элементы

ад, а2ф> • • •, а«Ф A)

составляют  для G систему образующих. В самом деле, если а —

произвольный  элемент из группы G и а — один из его прообразов в группе G,

то  а так же записывается через степени  элементов A), как а — через

степени элементов ац, а2, • ¦ •, ап. Некоторые  из элементов A) могут,

конечно, совпадать, т. е. мы получим для группы G систему образующих

с повторениями. Эти повторения можно было бы исключить. Мы

условимся, однако, и в будущем допускать  к рассмотрению системы образую-

образующих  с повторяющимися элементами.

Всякая  бесконечная группа с конечным числом образующих являет-

является  счетной.

Действительно, если элементы а4, а2, . . ., ап являются образую-

образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записав

в виде произведения

а, а, а

а,1а,г ... а,*

(вообще  говоря, многими различными способами); всякое i^ есть одно-

из  чисел 1, 2, . . ., п, причем возможно, что ik = i; при кф1. Будем

называть  длиной этого произведения сумму  абсолютных величин пока-

показателей:

Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степе-

степеней  образующих элементов а±, а2, . . ., ап данной длины h. Множество

всех  произведений степеней этих элементов  будет, следовательно, суммой

счетного  множества конечных множеств, т. е. счетным, а поэтому и

группа G будет не более чем счетной.

Примеры 3 и 4 настоящего параграфа показывают, что существуют

счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Группы

с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп,

промежуточный между конечными и счетными группами.

Всякая  подгруппа группы с конечным числом образующих будет,

конечно, не более чем счетной. В гл. 9 мы встретим, однако, примеры

групп с конечным числом образующих, некоторые  подгруппы которых

не  обладают конечными системами образующих. Группы с конечным

числом  образующих будут специально изучаться в гл. 10.

Заметим, что таким же путем, как выше, можно  доказать, что если

группа G обладает бесконечной системой образующих {без повторений)

мощности ttt, то и сама группа имеет мощность т. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература:

Курош А.Г Теория групп, Наука, Москва 1967г