Шпаргалка по "Математике"

  , начиная с движение оптимально =

Ищем  оптим. для каждого -приравниваем к 0.  Итог : 

Движемся в  обратную сторону:   

Для непрерывных систем : -

Для диф-я 2-го порядка  решение усложняется. Метод динамического  программирования применим в комбинаторных  задачах.

Задача  №2

10    x(0) =1, x(3) =10    (здесь T=3)  , –управляющее воздействие ограничено =1 Разностное уравнение: 

    x(0) =1, x(3) =10

Шаг 1.  Для . Пусть . Разн. уравнение:

  , = начиная с движемся оптимально

x(T) ==10

Управляющее воздействие ограничено не из всех   м. прийти

Накладываем ограничение  на

=U,

< 3 – ограничение на переменное состояние, т.к. :

-Учитываем  все ограничения 

Общая постановка задачи: найти наибольшее (наименьшее) значение

 при ограничениях  
 
 

Ограничения задаются линейными формами.

Основные фигуры, встречающиеся в линейном программировании:

1. Прямая линия 

M₁, M₂ – точки в n-мерном пространстве

, t - параметр

2. Плоскость

Задаётся скалярным  произведением: 

3. Полупространство 

Из этих фигур  составляются различные другие фигуры.

Область дополнительных значений – многогранник.

Задача: определить  существует ли решение или нет, если существует – найти его (единственное решение или много решений, поиск наименьшего или наибольшего значения).

смотрим вопрос № 21

Для решения  задач лин. програмир. существует симплексный  метод. находясь в одной экстр. т. попеременно  в др. так, что значение лин. формы увелич-ся. Движемся по направлению  лучших экстр. точек до достижения оптимума…

Задача 1 Множество допустимых значений задано     N=3

          – экстр.т. не явл-ся ()

          –явл. экстр.т.

          –явл-ся экстр.т

Задача 2 (симплекс. метод) 

Задана линейная форма: L= .Найти наим. значение формы L

Симпл. метод  перебирает точки, чтобы его реализовать  нужно знать хотя бы одну нач. экстр.т Для этого формируется доп. задача лин. программирования

  пока одна из  переменных не  обнул-ся , т.е. L до опред. значения (обращаем внимание на переменные с “-” коэфф.) Увеличиваем одну единственную переменную

  – пришли в  экстр.т.

Можно посчитать  значение лин. ф-ции в этой точке. Теперь нулевые координаты

- это свободные  переменные. Базовые  переменные:

L=-2   Выразим L через своб. перем.:

 Для L нужно и , но мы уйдём в “-” область . Т.е. за один шаг симплекс. метода мы завершили алгоритм

Если случай - мн-во решений (

)

Если  - задача не имеет решения

Уравнения в  сис-ме – плоскости.

Экстр.т. принадлежит  прямой на их пересечении

-Область допустимых  значений 

Ограничения типа неравенств превращаются в ограничения  типа равенств за счет введения дополнительных коэффициентов.

Пример:

x₁+3x₂+5x₃-6x₄≤10

10-x₁-3x₂-5x₃+6x₄≥0

u≥0

x₁+3x₂+5x₃-6x₄+u=10

Сколько ограничений  типа неравенств столько и вводится дополнительных переменных. Дальше решается как обычно. x_i≥0 для того, чтобы L уменьшалась при отрицательном коэффициенте (важно для симплексного метода но не для линейного программирования).

Система с постоянными  коэффициентами (параметрами) называется стационарной, иначе нестационарной.

Показатель, характеризующий  качество системы max или min достигается для оптимальной системы, называется критерием оптимальности.

Оптимальная система – наилучшая среди всех систем определённого класса, которая удовлетворяет принятому критерию качества.

Задача  синтеза оптимальной  системы

Структура системы  считается жёстко заданной и требуется  найти оптимальные численные  значения её параметров, при которых  качество системы будет наилучшим  с точки зрения выбранного критерия.

Решением  дифференциального  уравнения наз-ся ф-ция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общая постановка задачи линейного  программирования: имеется наименьшее значение линейной формы при линейных ограничениях на неотрицательные переменные.

Функционал – правило отображения ф-ции в число.

Динамический  объект – объект, движение которого описывается дифференциальными уравнениями, либо записывает систему дифференциальных уравнений в форме Коши:

Движение объекта  описывается с помощью решения  дифференциальных уравнений.

Линейным  дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной ф-ции и её производных, имеющие вид:

Линейной  системой с постоянными  коэффициентами наз-ся линейная система уравнений:

Вариация  аргумента – приращение аргумента функционала, принадлежащее множеству ф-ций, на котором определён функционал.

Вариация  функционала – главная линейная часть приращения функционала.

Принцип оптимальности – конечный участок оптимальной траектории есть оптимальная траектория.

Уравнение Беллмана – уравнение в частных производных для зависимости наименьшего значения критерия оптимальности, зависящего от времени.

Симплексный метод – метод перехода из одной экстремальной точки в другую соседнюю экстремальную точку, в которой значение критерия предпочтительней.

Уравнение Эйлера: =0

Вариационное  исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов.

Непрерывная функция: функция f(x) наз-ся непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции f(x).

Вариация  функционала – главная часть приращения функционала.

Основная  лемма вариационного  исчисления: если для каждой непрерывной ф-ции y(x):

  где ф-ция Ф(x) непрерывна на отрезке [x0,x1], то Ф(х)=0 на том же отрезке.

0  , 

y(x0)=y0…

y(x1)=y1…

Fy-

Fz-