Шпаргалка по "Математике"

Найти наибольшее и наименьшее значения y при ограничениях:

, i=1,2,…,k; 
, j=1,2,…,l;

Ограничения бывают типа равенств и неравенств.

Найти экстремальные  значения y при наличии ограничений типа равенств: 

1) Образуем функцию  Φ.

  от n+k – переменных.

2) Ищем экстремум  функции Ф. 

3) Пусть M - точка установленного экстремума,

тогда М*= - точка установленного экстремума функции Ф.

2 этапа решения  задач:

1) ищется условие  оптимальности

2) технический  этап – решение уравнений

1-ый способ  общий, 2-ой не всегда реализуем. 

Переменная величина I называется функционалом, зависящим от функции y=y(x), что обозначается так: , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует значение I, т.е. имеет место соответствие: функции соответствует число I.

Линейным  функционалом называется функционал , удовлетворяющий условиям:

1) , где с – произвольная постоянная

2)  

Переменная величина I называется функционалом, зависящим от функции y=y(x), что обозначается так: , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует значение I, т.е. имеет место соответствие: функции соответствует число I.

Приращением или вариацией  функционала называется разность между двумя функциями . При этом предполагается, что меняется произвольно в некотором классе функций.

Если приращение функционала можно представить как

, где  – вариация аргумента, - линейный по отношению к функционал, - максимальное значение и при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется вариацией функционала и обозначается .

Вариация  функционала – главная линейная по отношению к ) часть приращения функционала.

Порядок вычисления вариации функционала:

1. Заменяем аргумент: , где – вариация аргумента;

2. Вычисляем  частную производную по ;

3. В полученном  выражении полагаем , находим вариацию функционала

Задача – провести через две точки оптимальную кривую. В задаче Эйлера формируется критерий оптимальности:

Для задания  критерия выбираем функцию от трех вещественных аргументов: или Выполнив преобразования аргументов, получим функцию от одного вещественного аргумента.

Итак, нужно выбрать  такую кривую, которая является экстремумом от функционала.

Условие экстремума: одинаковый знак приращения при изменении аргумента, т.е. .

Исследуем на экстремум  функционал: для решения задачи Эйлера. Для начала найдем вариацию функционала по трем этапам (см. вопрос №5). Получим:

   . Полученный функционал  является линейным. Теперь применим  условие экстремума ():   - это основная лемма вариационного исчисления, т.е. если мы имеем некий функционал равный нулю при любом , то и . Нужно привести условие экстремума к виду этой леммы, т.е. при Преобразуем выражение (1) и получим:

Мы получили дифференциальное уравнение относительно Это уравнение Эйлера, которое позволяет решить задачу Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера называют экстремалями.

Задача. Найти  оптимальную (кратчайшую) кривую между  двумя точками.

;

Функционал: , где .  

Первое правило  дифференцирования: речь идет только о  вещественных аргументах. Запишем:

2. Единственность  решения;

3. Решения должны  быть устойчивы по отношению  к некоторым изменениям в установке.

Решение: рассмотрим первый случай.

 общий вид решения.

  – семейство прямых.

Второй  случай.

- общее решение  (все прямые).

Итак, оптимальная  траектория – прямая, соединяющая  эти две точки.

  – система линейных  уравнений относительно констант.

Итак, общий алгоритм решения такой задачи (задачи Эйлера).

1. Составить  уравнение Эйлера (два правила  дифференцирования);

2. Найти общее  решение уравнений Эйлера: , т.к. второй порядок.

3. Определить  константы интегрирования из  условий:

Всякая задача должна быть поставлена корректно:

1. Существование  решения;

Кривые  и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности мал.

Кривые  и близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей и малы.

Кривые  и близки в смысле близости k-го порядка, если модули разностей малы. 

На первом рисунке  изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие  в смысле близости первого порядка, т.к. ординаты у них близки, а направления  касательных не близки. На втором рисунке  изображены кривые близкие в смысле близости первого порядка.

Из этих определений  следует, что если кривые близки в  смысле близости k-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.

Рассмотрим  задачу Эйлера-Пуассона. Исследуем  на экстремум функционал 

Где функцию  F можно считать дифференцируемой раза по всем аргументам, и будем предполагать, что граничные условия имею вид: 
 

Т.е. в  граничных точках заданы не только значения функции, но и ее производных  до порядка  включительно. Находим экстремум по трем правилам, и получаем, что на кривой, реализующей экстремум: 

В силу основной леммы вариационного исчисления: 
 

.

Это дифференциальное уравнение порядка  носит название Эйлера-Пуассона, а его интегральные кривые называют экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения состоит из 2n произвольных постоянных, которые определяются, вообще говоря, из начальных условий.

    x(T)=

  условие закрепления

Найти оптимальное  управление

=((t)

  ;

()= 

  уравнение Эйлера-Пуассона

x’’’=c1

x’’=c1L+c2

x’=c1+c2L+c3

x=c1

x(0)=c4=x0

x’(0)= 

x’(T)=3c1 

Система линейных уравнений 

Находим c1 и c2, подставляем x в объект, находим u(t)

Задан функционал , но крайние точки не закреплены.

Вместо точек  заданы 2е кривые 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Условие оптимума: главная линейная часть приращения равна 0. Предположим, что мы нашли  решение, следовательно знаем точки (x₁,y₁), (x₂,y₂) и минимизировали функционал.

Функция, удовлетворяющая  уравнению Эйлера –экстремальная. Решение задачи с подвижными границами  может достигаться на экстремалях.

Рассмотрим  пример 

  при  вещественных аргументах.

Лин. Форма принимает 0е значения только когда  и =0 получаем условие =0 =0

Т.е. на концах должны выполняться условия:

  система уравнений

Уравнение экстремали для:: 
 
 

1. Обращение  к уравнению Эйлера и нахождение  уравнения Экстремали.

2. Условие трансверсальности-условие  вхождения экстремали в границу  для поиска констант с1 и  с2

Вариационными задачами на условный экстремум называют задачи, в которых требуется найти  экстремум функционала I , причем на функции, от которых зависит этот функционал, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал 

При наличии  условий . Такая задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа.

Условным экстремумом называется экстремум не на всей области определения функции (функционала), а на определённом её подмножестве, выделяемом специально наложенным условием (или условиями). Ограничения могут быть типа равенств или типа неравенств.

За пределами  ограничений куски траектории в  задаче с подвижными концами являются экстремалями. Существует условие трансверсальности  – условие вхождения экстремали в границу. Эти условия являются дополнительными уравнениями, которые  позволяют определить неизвестные  константы интегрирования.

В простых задачах  – экстремаль должна касаться границы.

При решении  вариационной задачи на условный экстремум (см. вопрос 13) удобно использовать метод  множителей Лагранжа, сохраняющий полное равноправие переменных, т.е. сведение задачи к задаче на безусловный экстремум. Дан функционал

При наличии  условий 

Запишем функцию  Лагранжа Ф: 
 

Составим функционал , который исследуется на безусловный экстремум, т.е. решается система уравнений Эйлера

(2)

Теорема. Функции , реализующие экстремум функционала при наличии условий

удовлетворяют при  соответствующем выборе множителей Лагранжа уравнениям Эйлера, составленным для функционала (1). Функции определяются из системы (2).

Полным описанием  динамической системы является описание в форме Коши:

=f₁(x₁….x_n, u)…….=f_n(x₁….x_n, u);

В частности  для линейных систем

Переменные, входящие в описание по форме Коши, называются переменные состояния  (т.е. вектор )

Перевести систему  из одного состояния в другое, значит: имея начальный набор значений привести за счет управляющего воздействия u к другому набору . Состояние системы в каждый момент времени – значение переменных состояния, т.е.

x = ; x = ; x(T) =  

dx_i/dt  = f_i ( x_1…,x_n,u(t),t) , i=1,..,n;  x(0)=M₀ ; x(T)=M_T

Требуется перевести  динамическую систему из одного состояния  в другое оптимальным образом, для  определения критерия оптимальности  рассмотрим функционал:

J=₁,..,x_n ,x₁^/,..,x_n^/(t),u(t))dt

Управляющее воздействие  ограничено: |u(t)| ≤ u_max

Значение функционала  должно быть самым хорошим, т.е. наиб. или наим., а не то, где вариация = 0, аналогично:

Вводится вспомогательная  переменная X₀(t), dX₀(t)/dt =F(t,X₁,..,X_n^/,U);

X₀(t)=  => X₀(0)=0, т.е. мы формируем нач. условие  X₀(t)=J

После ввода  переменной получаем систему дифф. ур-ий:

dx_i^*/dt =f_i(     ), i=0,1…, n

x^*=

Т.е. м. избавиться от t

если приращение ф-ла ’’-’’, то достигается наиб. знач.

Вводится понятие :

Игольчатая  вариация - очень узкий импульс, площадь д.б. конечной, чтобы система могла сдвинуться с места (τ мало).

Движение будет  оптимальным, если X₀(t) б. принимать приращение одного знака.

В принципе максимума  б. наблюдать главн. мин. часть приращения. Для её выделения линеаризуем  дифф. ур-е.

F(y, y^l, u)=0, пусть y₀(t)-реш. соотв. u₀(t). Цель линеар. – получить новое решение

F(y_н, y_н^l, u_н(t))=0

Ищем y_н(t). Для малых возмущений управляющего воздействия:

U_н(t)=U₀(t)_старое +E(t)_{возмущ.}. Найти приближенный способ получения y_н(t) – задача, которая стоит перед линеар-ей. Предполагается: y_н(t) = y₀(t) + x(t), где x(t)-малая добавка. Приближ. способ: для x(t) удается получить лин. диф. ур-ие, но оно будет с переменными коэф-ми.

Использование линеаризации при получение принципа максимума. F(y, y^l, u)0; u₀(t) – решение x₀(t);  U_н(t)=U₀(t)+Δt, где U_н(t) – новое управляющее воздействие. x_н(t)=x₀(t)-δ(t)-новое решение. Если Δt-очень мало, считаем что δ(t)-тоже мало. Если u₀-известно, то F(x₀(t), x₀^l(t), u₀(t))0;  F(x_н(t), x_н^l(t), u_н(t))0;

F(x₀(t)+δ(t), x₀^l(t)+δ^l(t), u₀(t)) F(x₀, x₀^l, u₀)+, где =a₀(t),  a₁(t),        =b(t).

                       δx(τ)              δx(τ)= = ε(); 

(x₁….x_n,u_.) –рез. линеаризации. δJ=δx₀(t)=>0 хотим, чтобы функция имела наим знач→ приращ. в min д.б. “+”. Введем числовой верх:

ψ=  , -δx₀(t)<=0, -δJ =<δx(τ),ψ>; ψ(t)= ; ψ(t)=ψ; -δJ =<δx(τ),ψ(t)>

подберем такой  ψ(t), чтобы <δx(τ),ψ(t)>=const, потребуем чтобы<δx(τ),ψ(t)>; необходимо чтобы выполнялось – сопряж. диф. уравн. → обеспечим <δx(τ),ψ(t)>=const. Для того, чтобы u(t) , было оптим-м. необх. чтобы в каждый момент времени t функция H=<f,ψ> достигала наибольшего значения по аргументу. u-главное содержание принципа максимума.  

Пусть объект управления описывается системой уравнений  .или в векторной форме ,где -вектор координат состояния, -вектор координат управления. Основная задача оптимального управления: среди всех допустимых управлений, переводящих динам. Сис-му из начального положения x0 в конечное x1, найти оптимальное. Для определения критерия оптимальности рассмотрим функционал .Он должен достигать минимума.

Принцип максимума  Понтрягина состоит в том, что  для оптимального управления и соответствующих  координат  ,для которых критерий J имеет минимальное значение, функция Гамильтона H имеет максимум(по аргументу U).

Функции H(y, x, и) ставится в соответствие каноническая (гамильтонова) система (относительно y, х) .

(Следствие принципа  максимума)

(Для уст. Систем)

Для того, чтобы  линейная динамическая система порядка  n, имеющей различные не положительные корни характеристического уравнения, перевести за минимальное время из одного состояния в другое, требуется не более n интервалов управления (не более n-1 переключения)

Причём на каждом из интервалов управляющее воздействие  равно либо +U_max , либо -U_max

1. U(t) – задаётся явная зависимость от времени

2. U – задаётся как ф-ия переменных состояние U(x1…xn)

Рассмотрим схему

Требуется перевести  систему из одного состояния в  другое за минимальное время.

Св-ва управляющего воздействия

1.U(t) либо +Uм либо –Uм

2. Имеются 2а  интервала управления.

Можно решить методом  фазовой плоскости?

F(X,

F(X,

  =p;       F(x,P,)=0 

x=c-

x=0, x1=0, ->c=0

x=-

Каждый конечный участок оптимальной траектории есть оптимальная траектория (следствие  аддитивности).

Принцип оптимальности (применения) – перевести систему  из одного состояния в другое на интервале времени [0, T]. Критерий: 

 Переход  к дискретной системе : рассмотрим  U,x в отдельных точках.

Будем искать приближенное значение U,x на интервалах

,

Рассм.  – дифур. стало разностным уравнением

  – дискретная задача

  – ограничение

Метод динамического  программирования – метод поиска наибольшего/наименьшего значения ф-ции многих переменных при наличии  ограничения на переменные, ограничения  в виде разностных уравнений.

Если ограничение  общего вида, то этот метод не подходит.

Вместо сложной  задачи решаем много простых задач  поиска наиб./наим. значения ф-ции одного аргумента.Например необходимо найти  методом градиента наиб./наим. значение.Задача общая, общего решения нет …   Наш метод опред. решение.

Решение задачи начинается с конца траектории (с  конечной точки )

Шаг 1 для . Пусть - известно. Тогда - разностное уравнение. Для каждого находим оптимальное значение .

Уравнение становится относительно корней- необходимо выбрать оптимальное уравнение:

Итоги шагов: Шаг 1 для

Шаг 2 для . Пусть .Тогда .

Дискретный  критерий начиная с движемся оптимально + .Из 4-ёх аргументов получили 3. 

Шаг 2 для . ИТОГ:

Далее доходим  до шага, где -известно, потом пойдем в обратном направлении

Оптимальным способом перевести систему из нач. сост. в  конечное за 3 секунды, чтобы критерий принял минимальное значение. Принять =1. Разностное уравнение: 

Шаг 1.  Для . Пусть . Разн. уравнение:

  , . Найти оптимальное управляющее воздействие:

x(T) ==10 Итог:

Шаг 2.  Для . Пусть . Разн. уравнение:

  , начиная с движение оптимально =

-приравниваем к 0

Итог :