Производственная функция, свойства, эластичность

 

    При этом такие факторы, как технический  прогресс и  предпринимательская способность считаются неизменными в относительно коротком промежутке времени и не влияющими на объём выпуска продукции, а фактор «земля» рассматривается вместе с «капиталом».

    Производственная  функция определяет взаимосвязь  выпуска продукции Q с факторами производства: капиталом K, трудом L. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Техническая эффективность производства характеризуется использованием наименьшего количества ресурсов при данном объеме производства. Например, способ производства считается более эффективным, если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем другие способы. Если же один способ предполагает использование одних ресурсов в большем, а других в меньшем количестве, чем другой способ, тогда эти способы не сравнимы по технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически эффективные, а для их сравнения используют экономическую эффективность. Наиболее экономически эффективным способом производства данного объема продукции считается тот, при котором затраты на использование ресурсов минимальны.

    Графически  каждый способ можно представить  точкой, координаты которой характеризуют минимальное количество ресурсов L и K, а производственную функцию – линией равного выпуска, или изоквантой. Каждая изокванта представляет множество технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она предоставляет. На рисунке 1.1. приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что можно сказать, что для выпуска 200 единиц продукции необходимо взять либо K₁ единиц капитала и L₁ единиц труда, либо K₂ единиц капитала и L₂ единиц труда, либо какую-то их комбинацию, предоставленную изоквантой Q₂=200.  
 

K 

K₁                             A 

                                                        Q₃=300    

K₂                                                  B

                                                     Q₂=200

 

                                             Q₁=100 

     0          L₁                      L₂                                                           L 

      Рисунок 1.1. Изокванты, представляющие разные уровни выпуска 
 

    Необходимо  дать определение таким понятиям как изокванта и изокоста.

    Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства (на рисунке 1.1. представлена сплошной линией).

    Изокоста - линия, образованная множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах (на рисунке 1.1. представлена пунктирной линией – касательная к изокванте в точке сочетания ресурсов).

    Точка касания изокванты и изокосты – это оптимальное сочетание  факторов для конкретного предприятия. Точка касания находится путём  решения системы двух уравнений, выражающих изокванту и изокосту.

    Основными свойствами производственной функции  являются:

1. Непрерывность функции, то есть, её график представляет сплошную, непрерывную линию;
2. Производство не возможно при отсутствии хотя бы одного из факторов;
3. Увеличение затрат любого из факторов при неизменных количествах другого приводит к увеличению выпуска продукции;
4. Можно сохранить выпуск продукции на постоянном уровне, замещая некоторое количество одного фактора дополнительным использованием другого. То есть, уменьшение использования труда можно компенсировать дополнительным использованием капитала (например, приобретая новое производственное оборудование, которое обслуживается меньшим числом работников).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Эластичность  замещения факторов

    На  основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что основным вопросом производственной функции является вопрос правильной комбинации факторов производства, при которой уровень выпуска продукции будет оптимальный, то есть, приносящий наибольшую прибыль. В целях поиска оптимальной комбинации, необходимо ответить на вопрос: На какую величину надо увеличить затраты одного фактора при снижении затрат другого на единицу. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи введения такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.

    Эластичность  замещения – это соотношение  затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень  эффективности замещения одного фактора производства другим.

    Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая  показывает, на сколько единиц можно  уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

    Предельную  норму технического замещения характеризует  наклон изоквант. Более крутой наклон изокванты показывает что, при увеличении количества труда на единицу, нужно будет отказаться от нескольких единиц капитала для сохранения данного уровня производства. MRTS выражается формулой:

     MRTS_L,K=–DK/DL

 
 

    Изокванты могут иметь различную конфигурацию.

    Линейная  изокванты на рисунке 1.2(а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, то есть, данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с помощью комбинации этих ресурсов.

    Изокванта, представленная на рисунке 1.2(б) характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. В этом случае известен лишь один технически эффективный способ производства. Такую изокванту иногда называют изоквантой леонтьевского типа (см. далее), по имени экономиста В.В. Леонтьева, предложившего такой тип изокванты. На рисунке 1.2(в) показана ломаная изокванта, предполагающая наличие нескольких методов производства (P). При этом предельная норма технического замещения при движении вдоль изокванты сверху вниз убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании – методе экономического анализа. Ломаная изокванта реалистично представляет производственные возможности современных производств. Наконец, на рисунке 1.2(г) представлена изокванта, предполагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  K                                           а)                                     K                   Q₂                                   б)

                                                                                                Q₁

                                  

                                

           Q₁                  Q₂ 
 
 

     0                                                               L                  0                                                            L 
 
 

       K                     P₁                          в)                                          K                                           г)

                                             P₂                                                                                                Q₂

                    Q₂                                                                           Q₁

                         Q₁                                              P₃                               

           

                                                                                       P₄               

          
 

 

      0                                                                L                0                                                             L                   

     Рисунок 1.2. Возможные конфигурации изоквант. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Эластичность  производственной функции  и отдача от масштаба.

    Предельный  продукт некоторого ресурса характеризует  абсолютное изменение выпуска продукта, приходящегося на единицу изменения  расхода данного ресурса, причем изменения предполагаются малыми. Для производственной функции предельный продукт i- того ресурса равен частной производной: .

    Влияние относительного изменения расхода  i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, характеризуется частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:

    

    Для простоты будем обозначать . Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.

    Рассмотрим  частный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу – постоянная величина.

    Если  по отношению к исходным значениям  аргументов x₁, x₂,…,x_n один из аргументов (i- тый) изменится в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией: . Полагая I=1, найдем, что A=f(x₁,…,x_n), и поэтому    .                                         

    В общем случае, когда эластичность – переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях  I, близких к единице, т.е. при I=1+e, и тем более точным, чем ближе e/к нулю.

    Пусть теперь затраты всех ресурсов изменились в I раз. Последовательно применяя только что описанный прием к x₁, x₂,…,x_n, можно убедиться в том, что теперь 

    или 

    Сумма частных эластичностей некоторой  функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде

    Равенство (2) показывает, что полная эластичность производственной функции позволяет дать отдаче от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного увеличился с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции увеличился больше, чем в I раз (возрастающая отдача от масштаба), а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

    Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства – грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов – энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т. д. – требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x₁, а затем x₂ и т. д., а изменение x_n требует наибольшего времени. Можно выделить сверхкороткий, или нулевой период, когда не может измениться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x_1; 2-й период, допускающий изменение x₁ и x₂ и т.д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n+1.