Примеры применения производной к исследованию функции

            9) Построим график  функции:

 
 

            10) Дополнительные  точки:

            y(-3)=9/-5=-1,8  y(3)=9/1=9

            y(1)=1/-1=-1  y(6)=36/4=9 

      Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x²+3) и построить график.  1) Найдем область определения функции:

            D(y)=R

Определим вид  функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x²+3)=-(6(x+1))/(x²-3) – функция общего вида.

Найдем точки  пересечения с осями:

O_y: x=0,  y=(6(0-1))/(0+3)=-2,  (0;-2) – точка пересечения с осью y.

                             (6(x-1))/(x²+3)=0     

O_x: y=0, <=>      

                   x²+3≠ 0 

            6x-6=0

            6x=6

            x=-1

            (1;0) – точка пересечения  с осью х     

            4) Найдем производную  функции:

            y’=(6(x-1)/(x²+3))’=6(x²+3-2x²+2x)/(x²+2)²=-6(x+1)(x-3)/(x²+3)²

            5) Определим критические  точки:

            y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x²+3)²=0

            -6(x+1)(x-3)=0

            y’=0, если х₁=-1 или х₂=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

            6) Обозначим критические  точки на координатной прямой  и определим знак функции:

      -3        2  

-        +    - 

                              -1   3

            x=-2,    y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)²=-30/49<0

            x=0,     y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)²=2>0

            x=4,     y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)²=-30/361<0

            7) Найдем точки  минимума и максимума:

            x_min=-1

            x_max=3

            8) Найдем экстремумы  функции:

            y_min=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

            y_max=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

            9) Построим график  функции:

            10) Дополнительные  точки:

            y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

            y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

     Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад  произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

     Я выбрал эту тему, потому что мне  было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировал свои навыки пополнил свой запас знаний об этой теме.

     Я хочу посоветовать всем глубже изучить  эту тему.

 

 
 
 
 

Список  литературы.

Башмаков, М.И. Алгебра  и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.

Глейзер, Г.И. История  математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.

Дорофеев, Г.В. Пособие  по математике для поступающих в  ВУЗы.- М.: Наука, 1974.

Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 
 

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Филиал  в г. Астрахани 
 
 
 
 
 
 

Кафедра ___________________________

___________________________ 
 
 
 
 
 

Тимофеев  Андрей Александрович 

Определение функции, способы ее задания. Обратная функция, сложная функция. 

Контрольная работа по дисциплине «Математический анализ» студента 1 курса заочной формы обучения, группа ЭУ(5)-1, специальность «Экономика  и управление на предприятии (городское хозяйство)» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Астрахань 2010