Применение комплексных чисел в элементарной геометрии

         Рассмотрим теперь некоторые свойства ортоцентра треугольника. 
Из рисунка видно, что расстояние от ортоцентра треугольника до точки , симметричной центру описанной окружности относительно стороны , равно радиусу окружности , описанной вокруг треугольника. Аналогично для и , симметричных центру описанной окружности относительно сторон треугольника. Поэтому окружности , с центром в точках соответственно, равны окружности , и ортоцентр треугольника является точкой пересечения этих окружностей.

         Также мы можем увидеть, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем  расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника. Возьмем отрезки и . Они равны, как противоположные стороны параллелограмма, а прямая является половиной отрезка (по свойствам ромба). 

         Окружность  и прямая Эйлера

         Рассмотрим точку 

          
Очевидно, что это точка пересечения  диагоналей параллелограмма , и через неё проходит средняя линия параллелограмма, причем  

          
Таким образом, окружность с центром и радиусом проходит через точку - середину стороны - и через точку - середину отрезка . Аналогично можно доказать, что эта окружность проходит и через точки 

двух  других сторон и середины отрезков двух других высот. Окружность впервые была рассмотрена Леонардом Эйлером и называется окружностью Эйлера. Также её называют окружностью девяти точек треугольника, т.к. она проходит через девять замечательных точек: – середины сторон, - основания высот, - середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром.

         Прямая  называется прямой Эйлера треугольника. Ей принадлежат центр O описанной окружности треугольника , точка 

пересечения медиан, точка  пересечения высот и центр 

окружности  Эйлера, причем 
 

 

         

         Прямая  Симсона треугольника 
 

         Дана единичная  окружность S плоскости комплексных чисел, описанная вокруг треугольника . Найдем основания перпендикуляров , опущенных из некоторой точки этой окружности на стороны . Основание перпендикуляра, опущенного из точки окружности на хорду выражается числом  

т.к. является точкой пересечения перпендикулярных секущих к окружности.

         Отсюда следует, что 
 
 

         Находим: 

         Поскольку точки  , , и принадлежат одной окружности S, то полученное двойное отношение вещественно, из этого следует, что вещественно и исходное отношение и следовательно, три точки принадлежат одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона (точки относительно треугольника ).

         Выведем теперь уравнение  прямой Симсона . Будем исходить из формы уравнения прямой, проходящей через точки :

          
нормируем это уравнение, поделив  все его члены на коэффициент  при :

          
Положив здесь , получим следующее выражение для коэффициента при :

          
(т.к.  и аналогично для , и ). Чтобы определить свободный член C уравнения, достаточно подставить это уравнение

          
тогда

          
а т.к.

          
Получаем окончательное уравнение: 

         Очевидно, что точка 

         лежит на прямой Симсона. Если составить четырехугольник , где , то получим, что прямая Симсона вершины вписанного в окружность четырехугольника проходит через центр Z окружности Эйлера этого четырехугольника. 

         Примеры задач

         Решим некоторые  задачи методом комплексных чисел.

         Задача 1

         В результате поворота на вокруг точки отрезок перешёл в отрезок . Доказать, что медиана треугольника перпендикулярна прямой . 

         Решение:

         Пусть координаты равны соответственно . Тогда точки и будут иметь координаты , а середина отрезка - координату Находим: 

число – чисто мнимое. На основании критерия перпендикулярности (отрезки и перпендикулярны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым), прямые перпендикулярны. 

         Задача 2 

         Из основания высоты треугольника опущены перпендикуляры на две стороны, не соответственные этой высоте. Доказать, что расстояние между основаниями этих перпендикуляров не зависит от выбора высоты треугольника. 

         Решение:

         Пусть дан треугольник  , причём описанная около него окружность имеет уравнение . Если - высота треугольника, то 

         Комплексные координаты оснований  перпендикуляров, опущенных из точки на соответственно, равны 
 

         Находим: 

         Так как . Это выражение симметрично относительно , т.е. расстояние не зависит от выбора высоты треугольника. 

         Задача 3 

         На плоскости даны четыре окружности такие, что окружности пересекаются в точках , окружности пересекаются в точках , окружности   - в точках и окружности   - в точках . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной окружности или прямой. 

         Решение:

         Так как точки  лежат на одно окружности, то вещественным будет выражение 

         Аналогично для  остальных точек составим вещественные выражения 
 
 

         Поэтому, вещественным будет и выражение 

         Следовательно, из вещественности двойного отношения  вытекает и вещественность двойного отношения . 

 

          

         Заключение

         Известно, сколь широко используются комплексные числа  в математике и её приложениях. Особенно часто применяется функции комплексного переменного, в частности, аналитические функции.

         Вместе с тем  алгебру комплексных чисел можно  успешно использовать и в более  простых разделах математики – элементарной геометрии, тригонометрии, теории движений и подобий, аффинных и круговых преобразований, а также в электротехнике и в различных механических и физических задачах.

         Названные выше разделы  элементарной математики хорошо описываются  с использованием комплексных чисел, однако в литературе

         это отражено мало. На русском языке фактически отсутствуют  руководства по элементарной геометрии  и примыкающей к ней теории преобразований, в которых использовался бы алгебраический аппарат комплексных чисел.

         В работе большое  место занимает вывод формул для  решения планиметрических задач  с помощью комплексных чисел, а также рассмотрены основные свойства некоторых фигур планиметрии. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами. В конце работы разобраны решения трех задач с помощью комплексных чисел.

         Данная работа может быть использована, как пособие для решения задач планиметрии с помощью приведенных здесь формул. 

         Библиографический список

         1. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 52 с.

         2. Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов – М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.

         3. Швецов Д. От прямой Симсона до теоремы Дроз-Фарни, Квант. - №6, 2009. – с. 44-48

         4. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. - Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 612 с.

         5. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии – М.: Физматгиз, 1963. – 192 с.