Применение комплексных чисел в элементарной геометрии

         МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

                 ------------------------------------------------------------------------------ 

                         Кафедра прикладной математики 

                                      Курсовая работа на тему:

         «Применение комплексных чисел в элементарной геометрии» 
 
 
 
 

                                                              Выполнила: студентка 2 курса

                                                                  физико-математического

                                                                  факультета специальности

                                                               «Прикладная математика и

                                                                         информатика»

                                                              ---------------------------------- 

                                                             Научный руководитель: старший

                                                            преподаватель

                                                             ----------------------------------------- 
 
 

                           

                       ---------------------------------, 2010  

Оглавление

Введение          3

§ 1. Параллельный перенос        4

§ 2. Вращение          4

§ 3. Подобие и движение       5

§ 4. Принадлежность трех точек прямой     7

§ 5. Принадлежность четырех точек окружности   8

§ 6. Ортоцентр треугольника       9

§ 7. Окружность и прямая Эйлера      10

§ 8. Прямая Симсона треугольника      12

Заключение         18

Библиографический список       19

 

         

Введение

         Большое значение комплексных  чисел в математике и ее приложениях  широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного.  Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

         Метод комплексных  чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

         В данной работе рассматривается  применение комплексных чисел в  планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

         Цель работы:

1. Описать параллельный перенос, вращение, движение первого и второго рода, подобие первого и второго рода с помощью операций над комплексными числами. Вывести условие принадлежности трех точек одной прямой и четырех точек одной окружности.

2. Доказать с помощью комплексных чисел свойства ортоцентра треугольника, существование окружности и прямой Эйлера.

3. Используя комплексные числа, доказать свойства прямой Симсона треугольника.

         Работа состоит  из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии. 

Параллельный  перенос

         Любое комплексное  число можно единственным образом  отобразить на плоскости как точку  или радиус-вектор  точки . Поэтому число называют точкой или вектором.

         Зафиксируем два комплексных числа и . Найдем их сумму , которая означает, что , т.е.  что вектор совпадает с вектором (геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор .

Вращение 

         Пусть даны точки  , где , а arg ; , где , . Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом: 

где , а . Геометрически это обозначает, что точка , характеризующаяся модулем , является образом точки с модулем при композиции поворота с центром на угол =arg и гомотетии с центром и коэффициентом . Поскольку , точка будет также образом точки при композиции поворота с центром на угол , и гомотетии с центром и коэффициентом . Для построения точки удобно привлечь точку , которая равна единице. Имеем:

          
и ориентированные углы и равны ; следовательно, треугольники и подобны, что позволяет построить точку по точкам .

         Таким образом умножение  комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол в положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол .

         Любое движение плоскости  можно представить или как  вращение вокруг фиксированной  точки  O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде: 

         или  
 

Подобие и движение 

         Преобразованием подобия  (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки отображены в такие две точки , что , где - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при расстояния равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом является подобием с коэффициентом

         Фигура  называется подобной фигуре , если существует подобие, отображающее . В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом , есть также подобие с коэффициентом . Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

         Преобразование подобия  плоскости задаётся тремя парами соответственных точек , заданных так, что треугольник подобен треугольнику . Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

         По определению, треугольники называются подобными и одинаково  ориентированными (подобие 1 рода) тогда  и только тогда, когда (углы ориентированные). С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так: 

         Равенства 

         эквивалентны одному 

         или 

         где - комплексное число, – коэффициент подобия.

         Составим формулы  подобия первого и второго  рода. При одинаковой ориентации треугольников имеем: 

откуда 

          
При противоположных ориентациях  этих треугольников получим:

          
откуда 

         Итак, получены формулы  для подобия первого и второго  рода.

         Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

          
где и – постоянные комплексные числа, не может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно. Если точки переходят в точки , то при первом преобразовании 
, а при втором Следовательно, в обоих случаях

         Очевидно, если , то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно. 
 

         Принадлежность  трех точек прямой 

         Комплексное число 
 

есть  отношение трех точек . Угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки равен аргументу отношения : 
 

 есть ориентированный угол между ориентированными прямыми .

         Условием того, что  три точки  лежат на одной прямой, является вещественность отношения этих трех точек или то, что угол или .

         Доказательство

         Т.к. три точки лежат на одной прямой, то они коллинеарны. Следовательно, по условию коллинеарности, отношение – действительное  число.∎ 
 

         Принадлежность  четырех точек  окружности 
 

         Условием того, что  четыре точки  лежат на одной окружности является то, что разность углов или , или вещественность их двойного отношения , т.е., аналогично условию принадлежности трех точек прямой, отношение 

         является двойным  отношением четырех точек .

         Доказательство

         Если точки  коллинеарны, то отношения – действительные числа (по критерию коллинеарности точек). Следовательно, в этом случае будет действительно и двойное отношение.

         Если точки  лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

         1) точки  находятся в одной полуплоскости относительно прямой ,

         2) точки  лежат в различных полуплоскостях относительно прямой .

         В первом случае ориентированные  углы равны, во втором случае , т.е. В обоих случаях разность или . Но т.к. эта разность равна  

то  w – действительное число.∎ 
 

         Ортоцентр треугольника 

         Рассмотрим треугольник  . Условимся, что , т.е. все вершины треугольника принадлежат единичной окружности (центр описанной окружности O - начало координат, а радиус - единица длины). Таким образом очевидно, что точка , которая равна есть вершина ромба , из чего следует, что прямые взаимно перпендикулярны как диагонали ромба; точка  

является  серединой стороны треугольника . Точка – вершина параллелограмма , т.е. , т.е. - высота треугольника , а – точка пересечения высоты со стороной . Аналогично можно доказать, что прямые и - высоты треугольника . Поэтому - точка пересечения высот треугольника, т.е. является ортоцентром.