Правильные многогранники

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ 
 

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

ПРАВИЛЬНЫЕ  И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 
 
 
 
 
 

ИСПОЛНИТЕЛИ:            .

СТУДЕНТКИ 3-ГО КУРСА 1 ГРУППЫ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО  ФАКУЛЬТЕТА

ПАНКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА

АНТОНОВА  ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА 
 
 
 
 

Г. ОРЕХОВО-ЗУЕВО

2010 Г. 

                                                                                                 Правильных многогранников

                                                                                            вызывающе мало, но этот весьма

                                                                                             скромный по численности отряд

                                                                                                   сумел пробиться в самые глубины

                                                                                                   различных наук.

                                                                   

                                            Л. Кэрролла. 

    1. Введение. 
 

    Человек проявляет интерес к правильным многогранникам на протяжении всей своей  сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.

    Наш реферат посвящен теме правильных и  полуправильных многогранников. Их изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп. Также и нас эти удивительные тела не оставили равнодушной. Ведь их форма – образец совершенства!

      Сколько всего правильных многогранников? Какими особенностями они обладают? Как изготовить модель какого-либо правильного многогранника? Где можно встретить эти тела? Ответить на эти и многие другие вопросы и является целью нашей работы. 
 
 
 
 

    2. Правильные многогранники. 

    Многогранник называется правильным, если: во-первых, он выпуклый; во-вторых, все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; в-третьих, в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

   Возникает вопрос: сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников - ни больше ни меньше, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны или правильные пятиугольники (тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр).

Названия  правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр», «октаэдр», «гексаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», «восьмигранник», «шестигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник». Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

       Все правильные многогранники  получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон (427-347 годы до н.э.)

Четыре  многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, так как он самый «обтекаемый»; куб - землю, как самый «устойчивый»; октаэдр - воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее или»  «Вселенский разум», символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода=воздух/огонь.

     Тетраэдр – это четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников (рис. 1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

       Куб или правильный гексаэдр - это правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис 1-б). Куб, получается, если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три.

     Октаэдр- это восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников (рис.1-в). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием.

    Икосаэдр- это двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками (рис 1-г).

   Додекаэдр- это двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник (рис 1-д). Он основан на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона.

(а)

(б) (в)

(г)  (д)

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) октаэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»), 
(в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум») 

       Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

  Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много! 

Развертки правильных многогранников: 

 
 
 
 

3. Доказательство существования  пяти правильных  многогранников. 

    Мы  знаем, что правильных многогранников существует только пять. Теперь попробуем  это доказать.

    Предположим, что правильный многогранник имеет Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник, у каждой вершины сходятся k ребер,   всего в многограннике В вершин и Р ребер, причем n 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех  сторон, и k 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.

    Считая  ребра по граням, получим: n Г = 2Р.

    Каждое  ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении

 n Г  число Р удвоено.

    Считая  ребра по вершинам, получим: k В = 2Р, поскольку каждое ребро упирается в 2 вершины. Тогда равенство Эйлера дает:

                  или  . (*)

    По  условию  , тогда , т.е. n и k не могут быть более трех. Например, если бы было n = 4 и k = 4, то  тогда и Прикидкой можно проверить, что и другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству  (*).  Значит, либо k = 3, либо n = 3. 

    Пусть n = 3, тогда равенство (*) примет вид:

                  или 

    Поскольку         может принимать значения   ,  ,

 т.е. k =  3, 4, 5. 

    Если  k = 3, n = 3, то   P = 6,   Г =     В =    - это тетраэдр (см. табл. 1).

    Если  k = 4, n = 3, то Р = 12,  Г = , В =                                                                - это           октаэдр.

    Если  k = 5, n = 3, то  Р = 30,  Г = В =                                                                   - это икосаэдр.

    Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид: 

     , или  

    Отсюда  следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

    Случай n = 3 разобран. 

    Остаются  два случая:

    n = 4 при k = 3, тогда , т.е. Р = 12,  Г = , В =                                                                - это куб.

    n = 5 при k = 3, тогда   , Р = 30,  Г = 12, В = 30                                                                 - это додекаэдр. 

    Вот мы и доказали, что существует, пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.

4. Числовые характеристики Платоновых тел.

     Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней n, сходящихся в каждой вершине, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника (табл. 1).