Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Января 2013 в 20:29, реферат
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
а11х2 + а22 y2 + а33z2+ 2а12ху + 2а23yz + 2а13хz + 2а14 х + 2а24у+2а34z
+а44 =0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов а11, а22, а33, а12, а23, а13 отличен от нуля.
При h>0 действительная ось симметрии гиперболы будет параллельна оси Ох, при h<0 действительная ось симметрии гиперболы будет параллельна оси Оу.
Плоскость хОу дает в сечении с поверхностью (19) линию
уравнения которой распадаются на две пары уравнений:
и
и, следовательно, это сечение есть совокупность двух пересекающихся прямых. Прямые сечения плоскостью z= 0 служат как бы переходом от одного семейства гипербол (получающихся в сечении плоскостью z = h при h>0) к другому семейству.
Так как уравнение (19) содержит только квадраты координат х
и у, то плоскости xOz и yOz являются плоскостями симметрии для поверхности.
Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
(22)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
и
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
и
Рассмотрим
сечения поверхности
или
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
Цилиндры второго порядка.
Уравнения цилиндров 2-го порядка:
(23)
(24)
(25)
Направляющие линии этих цилиндров, лежащие в плоскости хОу, суть соответственно эллипс, гипербола и парабола. Образующие этих цилиндров параллельны оси Оz.
Цилиндры, которые определяются уравнениями (23), (24), (25),
носят названия эллиптического цилиндра (рис. 2), гиперболического
цилиндра (рис. 4) и параболического цилиндра (рис. 3). При
а = b эллиптический цилиндр становится поверхностью вращения
с осью вращения Oz.
(рис. 2)
(рис.3)
Заключение
Поверхности второго порядка - это интереснейший раздел аналитической геометрии, используемый для построения математических моделей, примитивов компьютерной графики реального времени, так как поверхности второго порядка могут приближённо отображать поверхности реальных объектов. Рассматривая данную тему, я заинтересовалась аналитической геометрией и планирую продолжить изучение этого раздела геометрии.
Этот реферат можно использовать как учебное пособие по приведенной теме. А практическая часть работы, представленная пятью задачами, может служить примером решения типичных задач.
Введение
Недавно я задалась вопросом о представлении тел в прямоугольной системе координат в пространстве. Пытаясь найти ответ на этот вопрос, я узнала о поверхностях второго порядка. Оказалось, что форму любого тела можно представить, как совокупность поверхностей второго порядка. Я заинтересовалась этим разделом аналитической геометрии и решила подробнее рассмотреть данную тему.
Цель моей работы - ознакомиться с поверхностями второго порядка, а именно:
Для достижения данных целей выполняются следующие задачи: