Понятие поверхности второго порядка

Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго  порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению  вида

а₁₁х² + а₂₂ y² + а₃₃z²+ 2а₁₂ху + 2а₂₃yz + 2а₁₃хz + 2а₁₄ х + 2а₂₄у+2а₃₄z

+а₄₄ =0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов а₁₁, а₂₂, а₃₃, а₁₂, а₂₃, а₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность  второго порядка, рассматриваемая  как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

     Существует  семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате преобразования системы координат в каноническую.

1. Вырожденные поверхности

Уравнение (1) может  определять вырожденную поверхность (пустое множество, точку, прямую, плоскость, пару плоскостей). Например, уравнение +1=0 не имеет решений и задаёт

пустое множество, уравнение + z²=0 определяет точку с

координатами (0,0,0). Уравнение х² + y²=0 определяет прямую - координатную ось Oz, х²= 0 задаёт координатную плоскость х=0, уравнение х²=1 задаёт пару плоскостей: х=1 и x=-1.

2. Невырожденные поверхности

Поверхности второго  порядка обладают определенными  элементами симметрии. Некоторые имеют  центр симметрии; все имеют хотя бы одну плоскость симметрии; многие имеют ось симметрии. Всякое уравнение вида (1) посредством преобразования координат, т.е. сдвигов и поворотов (так называемое приведение к главным осям), можно привести к каноническому виду. В уравнении канонического вида каждая переменная содержится только в одной степени: либо только в нулевой, либо только в первой, либо только во второй. Канонический вид уравнение принимает, когда оси системы координат совпадают с осями симметрии поверхности, а начало системы координат выбрано специальным образом (для центрально-симметричных поверхностей совпадает с центром симметрии).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЕРРКЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование  формы поверхностей второго порядка  по их каноническим уравнениям.

 

Подробно рассмотрим 9 видов поверхностей второго порядка:

эллипсоид, однополостный  гиперболоид, двуполостный гиперболоид, конус, эллиптический цилиндр, гиперболический  цилиндр, параболический цилиндр, эллиптический  параболоид и гиперболический параболоид.

         Остальные 8 видов поверхностей относятся к классам пар плоскостей (пересекающихся, параллельных и совпавших) и мнимых поверхностей (мнимый эллипсоид, мнимый конус, мнимый эллиптический цилиндр, пары мнимых пересекающихся и мнимых параллельных плоскостей).

         Изучим некоторые характерные свойства поверхностей, заданных своими каноническими уравнениями. Основным методом изучения является метод сечений, при котором поверхность рассекают плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и изучают получившиеся при таком сечении кривые. 

 

 

Эллипсоид.

 

 

 

Эллипсоидом (рис.1) называется поверхность второго  порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

 

        

где a>0, b>0, c>0.

   Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсоида, начало координат – его центром симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии.

Если центром  эллипсоида является точка М =(x , y ,z ), то уравнение эллипсоида примет вид .

 

В частности, если a = b = c, то получаем сферу   c центром в начале координат и радиусом a. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Точки пересечения эллипсоида с осями координат: A (−a; 0; 0), A (a; 0; 0), В (0; −b; 0), В (0; b; 0),              С (0; 0;−c),  С (0; 0;с) называются его вершинами.

    Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h , где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

                                    

                                               (2)

Исследуем  уравнение (2) при  различных h.

1. Если  (с>0), то и уравнение (2) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2. Если h=±с, то и линия (2) вырождается в точки (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости z=±с касаются эллипсоида).
3. Если  то уравнение 92) можно представить в виде        

                                       

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и .

При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h=0, т.е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями и .

Аналогичная картина  получается и при пересечении  данной  поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют  изобразить эллипсоид как замкнутую  овальную поверхность (рис.1).

        

Однополостный гиперболоид.

 

Однополостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе координат определяется уравнением

           (3)

   Уравнение(3) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Пересекая его плоскостью z=h, параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, уравнения которой будут

   h=c.       (4)

п радиус которой равен

Следовательно, при изменении h от -∞ до +∞ окружность (4)

описывает одпополостный гиперболоид.

Возьмем теперь вместо окружности (4) эллипс

                  (5)

Из которого следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями     и .   (6)

При изменении h от -∞ до +∞  этот эллипс описывает поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений(4):         (3)

Пересекая поверхность (3) плоскостями координат z = 0,

у = 0, x = 0, получим в сечении соответственно эллипс и две

гиперболы:

 

                   (7)

 

Как следует  из предыдущего, в сечении однополостного

гиперболоида  плоскостью z = h, параллельной плоскости  хОу, получается эллипс (5) с полуосями (6). При изменении h от -∞ до +∞ эти полуоси изменяются, оставаясь пропорциональными полуосям а и b эллипса, лежащего в плоскости хОу, и мы можем однополостный гиперболоид рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается параллельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по гиперболам (7) в плоскостях xOz, уОz. Если а = b, то уравнение (3) определяет однополостный гиперболоид вращения с осью вращения Oz.

Уравнение (3) содержит только квадраты координат, откуда следует, что однополостный гиперболоид симметричен относительно начала координат, а плоскости координат являются его плоскостями симметрии.

 

 

 

 

 

 

 

Двуполостный  гиперболоид.

 

Двуполостный  гиперболоид вращения мы получим, если гиперболу:    будем вращать вокруг оси Oz. Его уравнение будет:

 

Пересекая его плоскостью z = h ( ), перпендикулярной к оси вращения Oz, получим в сечении окружность, уравнения которой будут:

                                   (8)

и радиус которой равен       (9)

При изменении h от c до +∞ окружность (8) описывает одну полость гиперболоида, а при изменении h от -c до -∞ окружность (8) описывает другую его полость.

Возьмем вместо окружности (8) эллипс

                                         (10)

лежащий в плоскости z=h, параллельной плоскости хОу, полуоси которого суть:

                     и            (11)

При изменении h от-∞ до -c и от  c до +∞ этот эллипс описывает двуполостную поверхность, уравнение которой получим, исключив h из двух уравнений (10):

                                        (12)

 

Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (12), называется двуполостным гиперболоидом, а величины а, b, с — его полуосями. Пересекая эту поверхность плоскостями координат z=0, x=0, y=0 мы получим в сечении соответственно мнимое место и две гиперболы:

         и                   (13)

Как было выше сказано, в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью z=h, параллельной плоскости хОу, получается эллипс (10) с полуосями (11), когда . Отсюда вытекает, что двуполостный гиперболоид мы можем рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость его остается параллельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по гиперболам (13) и плоскостях xOz и yOz . Поверхность симметрична относительно начала координат, а плоскости координат суть ее плоскости симметрии. При а=b уравнение (13) определяет двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения Oz.

 

         

 

Эллиптический параболоид.

Параболоид  вращения получается вращением параболы вокруг оси Oz. Его уравнение будет  .            В сечении его плоскостью z = h ( ), перпендикулярной к оси вращении Oz, получается окружность, уравнения которой будут:

                                     (14)

и радиус которой  равен      (15)

Следовательно, при изменении h от 0 до +∞ окружность (14) описывает параболоид вращения.

Возьмем вместо окружности (14) эллипс

       (15)

(р, q и h — положительные числа), лежащий в плоскости z = h,

параллельной  плоскости хОу, полуоси которого суть:

 

                                 и          (16)

При изменении h от 0 до +∞ этот эллипс описывает поверхность

2-го порядка,  называемую эллиптическим параболоидом, уравнение

которой получим, исключив h из двух уравнений (15):

       (17)

Пересекая эту  поверхность плоскостями координат z=0, x=0, y=0, получим в сечении соответственно точку и две параболы:

                           и               (18)

Из предыдущеговидим, что эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом, который остается себе подобным и концы осей которого скользят по параболам (18). Плоскость эллипса при движении остается параллельной плоскости хОу.

Уравнение (17) содержит только квадраты координат х и у,

а потому плоскости xOz и yOz являются плоскостями симметрии поверхности. При p=q уравнение (17) определяет параболоид вращения с осью вращения Oz.

 

Гиперболический параболоид.

 

Простейшее  уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

   (19)

где p>0, q>0.

Плоскость координат xOz пересекает эту поверхность по параболе:     (20)

для которой  ось Oz является осью симметрии и  которая расположена 

в положительном  направлении оси Oz. Плоскость x = h, параллельная плоскости yOz, пересекает поверхность (19) по параболе, уравнения которой будут:           (21)

Из уравнения (21) усматриваем, что эти параболы, расположенные в плоскостях x = h, имеют один и тот же параметр, их оси симметрии находятся в плоскости xOz и параллельны оси Oz, ветви парабол направлены вниз (в отрицательном направлении оси Oz), а их вершины имеют координату  . 

Так как уравнение параболы (20), расположенной в плоскости xOz, при x = h дает то же значение для z, то отсюда заключаем, что вершины парабол (21) расположены на параболе (20).

Таким образом, гиперболический параболоид (19) можно рассматривать как поверхность, образованную движущейся параболой, ось симметрии которой остается в плоскости xOz, а вершина движется по параболе (20). Плоскость параболы остается параллельной плоскости yOz. Пересекая гиперболический параболоид (19) плоскостью z = h, получим в сечении гиперболу, уравнения которой будут: