Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции

 
 

ИНСТИТУТ  БИЗНЕСА, ПРАВА И  ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине 

МАТЕМАТИКА 

на тему 

Понятие функции. Область определения функции.

Способы задания функции 

     Выполнил:  Мальский Эдуард Александрович,

                           студент 2 курса

                           юридического факультета

        заочного отделения

                           группа 25-ЮЗП 
 
 
 

     Преподаватель:

                                                                                                                                                     

                                                                                       Оценка:_______________

          Подпись преподавателя:_______________ 
 
 
 
 
 
 

 2004 г.

 

Оглавление

контрольной работы по дисциплине «Математика»

на тему «Понятие функции. Область определения функции.

Способы задания функции»

Введение……………………………………………………...……………………3

1. Функция и её свойства……………………………………………………..4

2.       Способы задания функции…………………………………………...........5

3. Виды функций и их свойства……………………………………………...6

Заключение……………………………………………………………………….11

Список  использованной литературы…………………………………………...12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

     Функция - одно из основных математических и  общенаучных понятий. Оно сыграло  и поныне играет большую роль в познании реального мира. 

      Идея  функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в  первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 1. Функция и её свойства.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная  х- независимая переменная или аргумент.

Переменная  у- зависимая переменная

Значение  функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество  значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая  функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 2. Способы задания функции.

     Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого  значения аргумента можно найти  соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью  формулы у=f(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

     На  практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 2. Виды функций и их свойства.

1. Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат                                                                                                                                     
2. Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства  функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком  функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства  функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком  функции является гипербола.

5)Функция y=x²

   Свойства  функции y=x²:

1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x² - четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком  функции является парабола. 

6)Функция y=x³

Свойства  функции y=x³:

1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x³ -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком  функции является кубическая парабола 

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

    Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

     Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

         Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

         Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства  функции y=x^-2:

1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x^-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

   Теми  же свойствами обладают любые функции  при четном n, большем двух. 

9)Функция y=Öх

   Свойства  функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

 

10)Функция y=³Öх

Свойства  функции y=³Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=³Öх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

 

11)Функция y=ⁿÖх

   При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх. При нечетном n функция y=ⁿÖх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Öх.