Определение первообразной

Определение первообразной.

 Первообразной функции  f(x) на промежутке (a; b) называется  такая функция F(x), что выполняется  следующее равенство  для любого х из заданного промежутка: F’(x)=f(x).

 Если принять во  внимание тот факт, что производная  от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)’=f(x) . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного  интеграла.

 Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается ∫f(x) dx=F(x)+C

 Выражение f(x) dx называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

 Действие нахождения  неизвестной функции по заданному  ее дифференциалу называется  неопределенным интегрированием,  потому что результатом интегрирования  является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

 На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).  
1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределённый  интеграл от дифференциала производной некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы. 
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 
4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов. 
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: 

  Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

 Таким образом, задача  интегрирования является обратной  задаче дифференцирования, причем  между этими задачами очень тесная связь:  
-первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

-второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов. 
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных. 
 
  Таблица первообразных.

 Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства, можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных. 
Таблица первообразных (неопределенных интегралов).  
Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными. Формулы из правого столбца основными не являются, но очень часто используются при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.