Итак, обозначим через  абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему  целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.

      

    Положим, затем, для к=1,2,3,…: 

    Эта функция будет линейной в промежутках  вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

    Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством 

    Так как, очевидно, 0≤  (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.

    Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

    ≤ , где -целое.

     (n=0,1,2,…).

    Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются  вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.

    =;

    Ясно, что с возрастанием n варианта .

    Составим  теперь отношение приращений

    =

    Но  при k>n, число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

       (k=0,1,…,n).

    Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет. 
 
 
 
 
 
 

     

 
 
 
 
 
 

    Решение упражнений

    Упражнение 1 ([2], №909)

    Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование

    Решение 

    На   непрерывна как многочлен;

    На (0;1)    непрерывна как многочлен;

    На (1;2)  непрерывна как многочлен;

    На (2; непрерывна как элементарная функция.

     - точки подозрительные на разрыв

      
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

      
 
 
 
 

    Так как левый предел равен правому  пределу и  равен значению функции  в точке  функция непрерывна в точке  
 
 
 
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .  

    1 способ. В точке  не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

    2 способ. Найдем односторонние пределы  функции  в точке x=0.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Упражнение 2 ([1], №991)

    Показать, что функция имеет разрывную производную.

    Решение.

    Найдем  производную функции.

      При  

      При  
 

    Предел  не существует разрывна в точке  

    Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная.

    Докажем, что функция  в точке предела не имеет.

    Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что  не сходится к

     

     

      
 

     

     

      

     

     

    Вывод: функция  в точке предела не имеет.

    Упражнение 3 ([1], №995)

    Показать, что функция  где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные

    Решение. 
 
 
 
 

    Односторонние пределы не равны  функция не имеет производной в точке .  

    Упражнение 4 ([1], №996)

    Построить пример непрерывной функции, не имеющей  производной функции в данных точках:

    Решение.

    Рассмотрим  функцию  в точках

    Найдем  односторонние пределы  
 
 

     

    = 
 
 
 

              = 

    Односторонние пределы не равны  функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках

    Упражнение 5 ([4], №125)

    Показать, что функция не имеет производной в точке .

    Решение

    Возьмем приращение Дадим точке  приращение Получим

    Найдем  значение функции в точках и  
 

    Найдем  приращение функции в точке  

    Составим  отношение приращения функции в  точке к приращению аргумента 

    Перейдем  к пределу 

    Вывод: не имеет конечной производной в точке .

    Упражнение 6 ([4], №128)

    Показать, что функция не имеет производной в точке .

    Решение

    Возьмем приращение Дадим точке  приращение Получим

    Найдем  значение функции в точках и  
 

    Найдем  приращение функции в точке  

    Составим  отношение приращения функции в  точке к приращению аргумента 

    Перейдем  к пределу 
 
 
 
 

      Вывод: не имеет конечной производной в  точке . 

    Упражнение 7 ([4], №131)

    Исследовать функцию на непрерывность 

    Решение.

    На 

    На 

      – точка подозрительная на разрыв 
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв Iрода. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение

    В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием «Непрерывная, но не дифференцируемая функции», цели данной работы достигнуты, задачи решены.

    Список  литературы

1. Б. П. Демидович,  / Сборник задач  по курсу математического  анализа. Учебное пособие для  студентов физико-математического  факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.
2. Г. Н. Берман,  / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.
3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.
4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу  ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.
5. Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.