МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

    «УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

    Физико–математический факультет 

    Курсовая  работа по математическому  анализу

    Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции» 
 
 

      Выполнила: Пляшешник Ксения

                      студентка 131 группы                                          

                         Руководитель: Делюкова Я.В. 
 
 
 
 

    Уссурийск – 2011г.

 

     Содержание

    Введение 3

    Историческая  справка 4

    Основные  определения и теоремы 5

    Пример  непрерывной функции без производной 10

     Решение упражнений 13

    Заключение 21

    Список  литературы 22

 

    Введение

      Курсовая работа посвящена изучению  связи между непрерывностью и  существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

1. Изучить учебную литературу;
2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;
3. Прорешать систему упражнений.

 

      Историческая справка

      Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.

    Обучался  в Амстердамском университете, затем  в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

    Основные  работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

    Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.

    Основные  определения и  теоремы

    Предел  функции в точке. Левые и правые пределы

    Определение (предел по Коши, на языке  Число называется пределом функции в точке , если

    Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только

    Определение (по Гейне) Число называется пределом функции         в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

    Определение Число называется левым пределом функции в точке , если

    Определение Число  называется правым пределом функции в точке , если

    Теорема (необходимое и достаточное условие  существования предела)

    Для того чтобы в точке  существовал предел функции необходимо и достаточно,  чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

    Понятие производной. Односторонние  производные.

    Рассмотрим  функцию   заданную на множестве

1. Возьмем  возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .
2. Вычислим значение функции в точках . и
3. Найдем приращение функции в точке .

     

4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента   .

 
 

причем  приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным. 

 левой (левосторонней) производной функции в точке , а если

существует  конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .

    Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:

    ((.

    Рассмотрим  функцию  Найдем односторонние производные в точке  
 
 
 
 

    Следовательно, (=-1;(=1 и   ((, то есть в точке функция производной не имеет.

    Различные определения непрерывности  функции в точке.

    Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.    

    Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .

    Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .

     

    Определение 4  (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

    Понятие дифференцируемой функции

    Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A-const, независящая от  , - бесконечно малая при

    Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

    Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

    Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .

    Доказательство.

    Пусть задана функция  Функция дифференцируема в точке , где  

    При

    Обратная  теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

    Обратная  теорема неверна.

      в - не дифференцируема, хотя непрерывна.

    Классификация точек разрыва

    Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.

    Существуют  две классификации точек разрыва: I  и II рода.

    Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

    Определение Точка называется точкой устранимого разрыва, если , но они не равны значению функции в точке .

    Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.

• – бесконечные;
• – бесконечный или – бесконечный;

    Признаки  равномерной сходимости рядов

             Признак Вейерштрасса.

    Если  члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.

    Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Пример  непрерывной функции без производной

    Первый  пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

    ,

    где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

    Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными.