Начальная функция и ее изображение

Начальная функция и ее изображение

Пусть задана функция действительного переменного t, определенная при t≥0 (иногда мы будем считать, что функция f(t) определена на бесконечном интервале ─∞˂t˂∞, но f(t)=0 при t˂0). Будем предполагать, что функция f(t) кусочно непрерывная, т.е. такая, что в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода. Для обеспечения существования некоторых интервалов в бесконечном интервале 0≤t˂∞ мы наложим на функцию f(t) дополнительное ограничение. Именно будем предполагать, что существуют постоянные положительные числа М и такие, что

при любом значении t из интервала 0≤t˂∞.

Рассмотрим произведение функции f(t) на комплексную функцию действительного переменного t, где p=a+ib – некоторое комплексное число:

.

Функция  - тоже комплексная функция действительного переменного t:

 .

Эта теорема во всем дальнейшем играет очень важную роль.  Действительно, если при решении практической задачи мы каким-то образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли первоначальную функцию, то на основании сформулированной теоремы мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи, и других решений не существует.

Изображения функций

1. Функция f(t), определенная так:

f(t)=1 при t≥0,

f(t)=0 при t˂0,

называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через . График этой функции изображен на рис. 1. Найдем L-изображение функции Хевисайда:

l