Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

       Многоугольник называется выпуклым, если каждая прямая, проходящая через две соседние вершины, является границей полуплоскости, в которой лежат остальные вершины многоугольника. На рисунке 3а изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 3б – выпуклый.

         
 
 
 
 
 

       Фигура, являющаяся объединением многоугольника F и его внутренней области, также называется многоугольником. Ее будем обозначать через F.

       Будем говорить, что многоугольник F разложен на многоугольники F₁,F₂,…,F_k, если никакие из многоугольников F₁,F₂,…,F_k не имеют общих внутренних точек. И тогда F= F₁ F₂ … F_k. На рисунке 3б многоугольник F разложен на треугольники F₁, F₂, F₃, F₄, F₅. [1]

       Введем  понятие площади многоугольника. Пусть дан многоугольник  и две точки М₁ и М₂, принадлежащие F. Допустим, что точка М₁ лежит на стороне А₁А₂, а М₂ – на стороне А_mA_m+1, где 2≤m≤n (здесь предполагается, что при m=n точка A_m+1 совпадет с точкой A₁). Рассмотрим простую ломанную L=M₁N₁N₂…N_kM₂ с концами М₁ и М₂, все точки которой, кроме М₁ и М₂ являются внутренними точками многоугольника . Можно доказать, что ломанная L разлагает многоугольник на два многоугольника и (рис. 4)

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Сформулируем  задачу измерения площадей многоугольников.

       Введем  на плоскости измерение отрезков, задав некоторый единичный отрезок EF.

       Пусть каждому многоугольнику соответствует  определенное действительное положительное число так, что:

       А₁. Равным многоугольникам соответствует одно и то же число.

       А₂. Если простая ломанная L разлагает многоугольник на два многоугольника F₁ и F₂, и многоугольникам F, F₁ и F₂ соответствуют числа a,b,c, то a=b+c.

       A₃. Квадрату ₀, построенному на единичном отрезке EF как на стороне, соответствует число, равное единице. Число, указанным образом соответствующее каждому простому многоугольнику , называется площадью многоугольника или F и обозначается так: S( ) или S(F). Квадрат ₀ называется единичным квадратом. Имеет место следующая теорема. Ее мы принимаем без доказательства.

       Теорема 1. Если выбран единичный отрезок EF, то существует одно и только одно соответствие между множеством многоугольников и множеством действительных положительных чисел, для которого выполняется условия А_1, А_2, A₃ площадей. [1]

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       §2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

       четырехугольников. 

       Самыми  распространенными видами многоугольников являются треугольник, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и трапеция. Для выведения их площадей будем использовать две леммы:

       Лемма 1. Каковы бы ни были положительные числа a и b, существует прямоугольник, смежные стороны которого соответственно равны a и b.

       Лемма 2. Если через точку, лежащую на стороне прямоугольника, проведена прямая, перпендикулярная к этой стороне, то эта прямая пересекает противоположную сторону прямоугольника и разлагает прямоугольник на два прямоугольника. 

       2.1 Площадь квадрата 

       Пусть стороны AB и AD квадрата точками Р₁, Р₂,…,Р_n-1 и Q₁, Q₂,…, Q_n-1 разделены на n равных частей. Проведем через точки Р₁, Р₂,…,Р_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AB, тогда, согласно лемме 2, данный квадрат разлагается на n прямоугольников. (рис. 5а).

         
 
 
 
 
 
 
 

       Далее проведем через точки Q₁, Q₂,…, Q_n-1 прямые, перпендикулярные к прямой AD. Тогда каждый из этих прямоугольников разлагается на n квадратов. В результате квадрат разлагается на n² равных друг другу квадратов. (рис. 5б). Если площадь каждого из этих квадратов равна s, а пло щадь квадрата равна S, то согласно условию А₂ имеем: 

        Отсюда, в частности, следует, что  если сторона квадрата равна n, где n – натуральное число, n>1, то квадраты, на которые разлагается этот квадрат, построены на единичном отрезке, поэтому s=1 и, следовательно,  

       Теорема 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

        ○ Пусть S – площадь данного квадрата , и a – длина его стороны. Докажем, что 

       Рассмотрим  сначала случай, когда а – рациональное число, т.е. , где p и q – натуральные числа. Если q = 1, то утверждение теоремы непосредственно следует из формулы ⁽***⁾, поэтому предположим, что q > 1. Рассмотрим квадрат 1, сторона которого равна p, и разобьем его на q² равных друг другу квадратов так, как было показано выше. Так как p = аq, то сторона каждого из этих маленьких квадратов равна а, поэтому эти квадраты равны квадрату . Следовательно, их площадь равна S. По формуле ⁽**⁾ S=р², а по формуле ⁽*⁾

        S( ₁) = p² = q²s. Отсюда следует, что 
 

       Рассмотрим  теперь случай, когда а – иррациональное число. Допустим, что формула ⁽***⁾ неверна, т.е. S≠ a² и, следовательно, .

       Пусть для определенности Подберем рациональные числа α₁ и α₂ так, чтобы α₁< а < α₂ и  α₂ – α₁ < ε.

       Ясно, что площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной α₁ и площадью квадрата со стороной α₂ (рис. 6).

         
 
 
 
 
 
 

       Согласно  сказанному α₁² < S < α₂² или α₁ < < α₂. Отсюда, учитывая, что α₁< а < α₂, получаем: - а < α₂ – α₁, т.е. ε < α₂ – α₁. Это неравенство противоречит неравенству α₂ – α₁ < ε, следовательно, наше предположение неверно, т.е. S=a²  ●

       2.2 Площадь прямоугольника 

       Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

       Теорема 3. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

       ○ Пусть S – площадь прямоугольника (рис. 7а). Примем сторону AB за основание, а AD – за высоту и докажем, что S = ab, где a = AB, b = AD.

       Рассмотрим  квадрат со стороной a+ b. На стороне GH возьмем точку N так, чтобы GH = b и проведем через точки M и N прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам GH и GL (рис. 7б). По лемме 2 эти прямые разлагают квадрат на четыре прямоугольника, которые на рисунке 7б обозначены через F₁, F₂, F₃, F₄.  
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 

       Прямоугольники  F₁, F₃ равны прямоугольнику , поэтому площадь каждого из них равна S. Четырехугольники F₂ и F₄ являются квадратами со сторонами b и  a соответственно, поэтому по теореме 2 (пункт 2.1) их площади равны b² и a². По той же теореме, площадь квадрата равна (a + b)². По условию А₂ измерения площадей площадь квадрата равна сумме площадей прямоугольников F₁, F₂, F₃, F₄. Отсюда получаем (a + b)²= S + b² + S + a², т.е. S = ab. ●

       Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов   S = ab. 

       2.3 Площадь треугольника 

       Одну  из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под «высотой» подразумевают ту из высот треугольника, которая проведена к основанию.

       Теорема 4. Площадь треугольника равна половине произведение его основания на высоту.

       ○ Пусть S – площадь треугольника ABC (рис. 8). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .

         
 
 
 
 
 

       Если  точка Н совпадает с одной из точек А или В (рис. 8а), то утверждение теоремы непосредственно из следствия теоремы 3, поэтому допустим, что А,  В и Н - попарно различные точки. Возможны два случая:

       а) Точка Н лежит на отрезке АВ (рис. 8б). В этом случае высота СН разлагает треугольник ABC на два прямоугольных треугольника АНС и ВНС, поэтому S = S(АНС) + S(ВСН). Используя следствие теоремы 3, получим

       б) Точка Н лежит вне отрезка АВ. Пусть, например, В – А – Н (рис. 8в). В этом случае отрезок АС разлагает треугольник BCН на два треугольника ABC и АСН, поэтому S(BCH) = S(АВС) + S(ACH). Аналогично предыдущему получаем: ●

       Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований.

       Теорема 5. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

        ○ Пусть S – площадь треугольника ABC, AB=с, АС=b, CH=h, где CH - высота треугольника. Докажем, что  
 

       Если = 90°, то формула (2.4) вытекает из следствия теоремы 3, поэтому рассмотрим два случая:

       а) Угол А – острый (рис. 8б). В прямоугольном треугольнике АСН . Поэтому .

       б) Угол А – тупой (рис. 8в). В прямоугольном треугольнике АСН . Следовательно, ●

       Следствие. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.