Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«АЗОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МУЗЫКАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» 
 
 

Курсовая работа

Тема: «Многоугольники. Площади многоугольников

в школьном курсе математики» 

       Специальность: 050201 Математика 
 

       Выполнила:

       Студентка 4 курса

       школьного отделения

       Мешкова Анастасия 

       Научный руководитель:

       Куйдина Е.И. 
 

       г. Азов

       2007г.

       Содержание 

Введение ……………………………………………………………………….. 3

Глава I Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей

школе……………………………………………………………………………..7

§1 Понятие многоугольника и его площади……………………….…….…….7

§2 Вывод формул для вычисления площадей треугольников и

четырехугольников…………………………………………………………..….11

   2.1 Площадь квадрата………………………………………………….……11

   2.2 Площадь прямоугольника………………………………………………13

   2.3 Площадь треугольника………………………………………………….14

   2.4 Площадь параллелограмма……………………………………………..16

   2.5 Площадь трапеции………………………………………………………17

   2.6 Площадь произвольного многоугольника……………………………..18

Глава II Изучение геометрии в 7-9 классах…………………………………...19

§1 Психолого-педагогическая характеристика подросткового

возраста…………………………………………………………………………..19

§2 Сравнительный анализ учебных пособий по данной теме авторов

Л.С. Атанасяна и А.В. Погорелова…………………………………………..…21

§3 Компьютер на уроках геометрии……………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………28

Список используемой литературы……………………………………………...29

Приложение 
 
 
 
 
 
 

       Введение 

       Геометрия возникла еще в глубокой древности  в связи с практическими потребностями  человека: измерение расстояний, изготовление орудий труда определенных размеров, нахождение площади земельных участков и вместимости сосудов, вычисление объемов различных сооружений и т.д. Слово «геометрия» греческого происхождения («ге» - земля, «метрео» - мерю) и означает «землемерие». Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлеченным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры, поверхности, линии, точки, прямой, плоскости, отрезка и т.д. Геометрические фигуры встречаются в самых древних до нас математических документах: в «Московском» папирусе, в «папирусе Ахмеса» и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих документах содержатся задачи, в которых выступает на первый план вычисление площадей и объемов отдельных фигур. В древних египетских и вавилонских математических документах упоминаются как треугольники, так и основные четырехугольники: параллелограммы, прямоугольники, квадраты, равнобедренные и прямоугольные трапеции.

       Зачатки геометрических знаний, связанных с  измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам. [8]

       Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же приемы, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади S прямоугольника со сторонами a,b,c,d (рис.01) применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым. 
 
 
 
 

       Для определения площади S равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=AC, египтяне пользовались приближенной формулой: . Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной AB и высотой AD треугольника, иными словами, чем ближе вершина В (и С) к основанию D высоты из А. Вот почему данная формула применима лишь для треугольников со сравнительно малым углом при вершине.[8]

       Благодаря многим ученым древности, было положено основание для выведения формул, точно определяющих площадь любого многоугольника.

       Нахождение площадей многоугольников используется в планиметрии и стереометрии при решении задач. В курсе математического анализа площадь плоских фигур находится с использованием определенного интеграла. Помимо геометрии площади используются во многих смежных с геометрией науках, таких как физика, география, астрономия, геология, что объясняет актуальность данной темы.

       Тема  «Площади фигур» изучается в основной школе в 8-9 классах.

       Практика преподавания в школе по различным учебникам, сменяющим друг друга, убеждает в том, что, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения методики преподавания, степень усвоения материала учениками невысока.[9] При подготовке к экзаменам в 9 классе, а также подготовке к единому государственному экзамену в 11 классе, очень ярко видны проблемы изучения геометрии в школе. Окончив девять классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, но даже боятся за них браться, т.к. на экзаменах по математике задачи по геометрии являются самым сложным заданием.

       Таким образом, в настоящее время вопрос о рациональном построении процесса обучения с более глубоким изучением геометрии в курсе математики основной школы стоит наиболее остро.

       Немаловажное  значение в современном образовании стало отводиться современным средствам обучения и компьютерным технологиям. Применение компьютерных программных средств на уроках математики позволяет учителю не только разнообразить традиционные формы обучения, но и решать самые разные задачи:

• заметно повысить наглядность обучения, обеспечить его дифференциацию;
• облегчить контроль знаний учащихся;
• повысить интерес к предмету и познавательную активность школьников и т.д.

       С помощью компьютера можно организовать процесс обучения по индивидуальной программе (ученик может сам выбрать наиболее приемлемую для себя скорость подачи и усвоения материала), что способствует эффективному психологическому развитию и возникновению у школьника профессиональных интересов, повышает уровень самообразования и расширяет возможности для творчества.

       Компьютер способен реализовать многие преимущества технических средств обучения.

       Современные компьютерные программы позволяют создавать тексты, различные виды графики, мультипликацию со звуковым сопровождением, видеоизображения. С их помощью можно моделировать исследуемые объекты и проводить эксперименты по изучению их свойств, имитировать процессы и явления и т.д.

       Кроме того, применение компьютерных технологий способствует созданию на уроке положительного эмоционального фронта. Можно утверждать, что оно дало что-то ученику, если тот издает довольные звуки, гордо показывая свои творения товарищам или участвуя в «мультипликационных» объяснениях учителя; если его трудно отправить на перемену.[16]

       Гипотеза: при целенаправленном и грамотном использовании методик и современных ТСО, в том числе электронных презентаций, развивается интерес к изучению рассматриваемой темы и более глубокому и качественному усвоению материала.

       Объект  исследования: организация учебно-воспитательного процесса в период изучения темы «Многоугольники. Площади многоугольников».

       Предмет исследования: обучение учащихся основной школы приемам нахождения площади многоугольников.

       Цель: определить эффективную систему мер, способствующих усвоению данной темы.

       Задачи:

а) изучить научную и педагогическую литературу по данному вопросу;

б) изучить опыт работы учителей по данной теме;

в) провести сравнительный анализ методик преподавания темы по двум учебным пособиям;

г) разработать  электронную презентацию по изучению площадей многоугольников.

       При исследовании применялись  следующие методы:

• Классификация
• Обобщение
• Теоретический анализ и синтез
• Сравнение
• Аналогия

 
 
 

       Глава I  «Многоугольник. Понятие площади многоугольника в высшей школе» 

       §1 Понятие многоугольника и его площади. 

       В курсе элементарной геометрии понятие  многоугольника рассматривается через понятие ломаной. Ломаная - система отрезков А₁А₂,А₂А₃,... ,А_n-1,А_n, где n≥2, соединяющей точки А₁ и А_n и обозначается А₁,А₂,...,А_n (рис. 1)

         
 
 
 

       Отрезки А₁А₂, А₂А₃,...,А_n-1А_n называют звеньями (или сторонами) ломаной, а точки А₁,А₂,...,А_n вершинами ломаной, причём точки А₁ и А_n  называются концами ломаной. Звенья А₁А₂ и А₂А₃, А₂А₃ и А₃А₄,…,А_n-2А_n-1, А_n-1А_n называются смежными. Ломаная А₁А₂А₃…А_n называется замкнутой, если её концы совпадают, тогда А_n-1А_n и А₁А₂ – смежные звенья.

        Замкнутая ломаная  называется простым многоугольником, если её смежные звенья не лежат на одной прямой, а несмежные звенья не имеют общих точек. Вершины и стороны ломаной называют вершинами и сторонами многоугольника. Сумма сторон многоугольника называется его периметром. Многоугольник, имеющий n вершин, а значит и n сторон, называется n-угольником. В частности, при n=3 получаем треугольник, при n =4 получаем четырёхугольник. 
 
 
 
 
 

       На рисунке 2а изображён простой шестиугольник. Замкнутая ломаная А₁А₂...А₅, изображенная на рисунке 2б, не является простым многоугольником, так как несмежные звенья А₂А₃ и А₄А₅ пересекаются.

       Две вершины многоугольника, принадлежащие  одной стороне, называются соседние. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называют диагональю многоугольника. Из каждой вершины n-угольника при n >3 выходят n-3 диагонали, поэтому общее число диагоналей n-угольника равно     n(n-3). Так четырехугольник имеет две диагонали, пятиугольник – пять, шестиугольник – девять и т.д.

       Многоугольник разбивает множество всех точек  плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на два множества, одно из которых называется внутренней, а другое внешней областью многоугольника. Точки внутренней области многоугольника называются внутренними точками многоугольника. На ниже данных рисунках внутренняя область многоугольника заштрихована.