Министерство  общего и профессионального образования РФ

Государственное образовательное учреждение высшего

и профессионального  образования

«Магнитогорский государственный технический университет

им. Г.И. Носова» 

Кафедра вычислительной техники и прикладной математики 
 

    Курсовая  работа по дисциплине: «Вычислительная математика»

    на  тему: «Методы нахождения собственных чисел матрицы. Метод вращений Якоби» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка группы АВ-09-1

                                Сичная М.А.  

Проверил  Филиппов Е.Г. 
 
 
 
 
 

г. Магнитогорск

2010

СОДЕРЖАНИЕ

    ВВЕДЕНИЕ 3

    1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 4

    1.1 Определение собственных значений 4

    1.2 Свойства собственных чисел и векторов 5

    1.3 Понятие о симметричных матрицах 8

    1.4 Матрица плоских вращений 8

    2 ОПИСАНИЕ МЕТОДА ВРАЩЕНИЙ ЯКОБИ 10

    2.1 Идея метода вращений 10

    2.2 Необходимые формулы 10

    2.3 Алгоритм для одного шага метода вращений Якоби 12

    2.4 Доказательство сходимости 13

    2.5 Быстрота сходимости 14

    3 ПРИМЕР, РЕШЕНИЕ, АНАЛИЗ 15

    3.1 Условие примера 15

    3.2 Ход решения 15

    3.3 Анализ 17

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18

    БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 19

 

ВВЕДЕНИЕ

    Целый ряд инженерных задач сводится к  рассмотрению систем уравнений, имеющих  единственное решение лишь в том  случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных  ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные  нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные  с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные  значения соответствуют собственным  частотам колебаний, а собственные  векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций  собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

    Выбор наиболее эффективного метода определения  собственных значений или собственных  векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как  тип уравнений, число искомых  собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные  значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и  хорошо приспособлены для определения  наименьшего и наибольшего собственных  значений. Методы преобразований подобия  несколько сложней, зато позволяют  определить все собственные значения и собственные векторы.

    В данной работе будет рассмотрен метод вращений Якоби. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.

 

    1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    1.1 Определение собственных  значений

          Пусть А – вещественная n n-матрица, y=y(t) – n-мерная векторная функция скалярного аргумента t, и пусть ищутся нетривиальные решения системы дифференциальных уравнений

                                              

                                                    (1.1)

в виде , где . Подставляя y и в (1.1), получаем

,                                                           

т.е. система (1.1) действительно будет иметь  решения заданного вида в том  и только том случае, если найдутся такие пары чисел  и ненулевых x векторов, что

                                                       

.                                                 (1.2)

Имеется ряд других примеров из областей, лежащих  за пределами линейной алгебры, в  которых также приходят к необходимости  решать подобные (1.2) алгебраические задачи, называемые задачи на собственные значения. При этом различают полную (алгебраическую или, иначе, матричную) проблему собственных  значений, предполагающую нахождение всех собственных пар  матрицы А, и частичные проблемы собственных значений, состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел и, возможно, соответствующих им собственных векторов x.

    Трактуя A в равенстве (1.2) как матрицу линейного преобразования в пространстве , задачу на собственные значения можно сформулировать так: для каких ненулевых векторов x и чисел линейное преобразование вектора с помощью матрицы А не изменяет направления этого вектора линейное преобразование вектора с помощью матрицы А не изменяет направления этого вектора в , т.е. сводится к «растяжению» этого вектора в раз?

    1.2 Свойства собственных  чисел и векторов

    Прежде  чем приступить к изучению метода нахождения собственных чисел и  векторов, вспомним некоторые простые  их свойства, требующиеся в дальнейшем.

1. Если - собственная пара матрицы A, а - некоторое число, то также является собственной парой для А.

Действительно, умножив верное для данных и x равенство (1.2) на число , получаем верное равенство .

Оно означает, что каждому собственному числу  соответствует бесчисленное множество собственных векторов, различающихся лишь скалярным множителем. Такие векторы задают одно и то же направление в n-мерном пространстве; в соответствии этому направлению можно поставить нормированный вектор или орт (вообще говоря, одному собственному числу может соответствовать и несколько линейно независимых собственных векторов).

2. Пусть - собственная пара матрицы при некотором . Тогда собственная пара матрицы А.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что  по условию  при данных и x – верное равенство. Рассмотрим равенство при : . Оно равносильно , и значит, справедливо с другой стороны, говорит о том, что - собственная пара А. Как видим, прибавление к данной матрице А скалярной матрицы не изменяет ее собственных векторов и смещает спектр (множество всех ее собственных значений) исходной матрицы на число p (влево при p>0).

3. Если - собственная пара обратимой матрицы А, то - собственная пара матрицы .

Справедливость  этого свойства очевидна: умножив  верное для данных и x равенство слева на матрицу , получаем , что и означает утверждаемое.

4. Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются их диагональные элементы.

Этот  факт легко усматривается из очевидного представления характеристических уравнений  для таких матриц в виде .

Последнее равенство свидетельствует о  том, что диагональные и треугольные  вещественные матрицы имеют только вещественные собственные значения (ровно n с учетом возможной их кратности). Вещественность собственных чисел присуща и очень важному в приложениях классу симметричных матриц.

    Отношением  Рэлея для n n-матрицы А называется функционал , определенный на множестве ненулевых n-мерных векторов x.

5. Пусть - собственный вектор матрицы А, тогда - ее собственное число.

Для доказательства этого утверждения  обозначим через    собственное число матрицы А, соответствующее вектору . Подставляя в вытекающее из определения (1.1) равенство , имеем , откуда после деления на получаем утверждаемое: .

    Изучение  методов решения алгебраических проблем значений существенно опирается  на матричное преобразование подобия. Напомним, что подобными называются матрицы  и , где С – произвольная невырожденная матрица. Пополним приведенный набор свойств собственный пар матриц еще двумя свойствами.

6. Пусть - собственная пара матрицы . Тогда - собственная пара матрицы А.

Чтобы убедиться в справедливости этого  свойства, достаточно подставить выражение  _{в верное для пары равенство : имеем , откуда после умножения слева на матрицу C получаем равенство , означающее истинность утверждения.}

_{Как видим, преобразование подобия сохраняет  неизменным спектр любой  матрицы.}

7. Пусть А – n n-матрица простой структуры, а матрицы и и образованы из ее собственных чисел и собственных векторов соответственно. Тогда справедливо равенство .

Действительно, то, что  являются собственными парами матрицы A, означает, что   .

Эти n равенств могу быть записаны в виде одного матричного равенства

                                       

.                                        (1.3)

В силу простой структуры А, все  ее собственные векторы, т.е. столбцы  матрицы X, линейно независимы, поэтому матрица X обратима. Умножив равенство (1.3) слева на матрицу , получим нужное представление .

    1.3 Понятие о симметричных  матрицах

    В данной работе мы будем рассматривать  только симметричные вещественные матрицы. Пользуясь известным фактом о  наличии у таких матриц полной ортогональной системы собственных  векторов, т.е. тем, что заявленная выше матрица Х из собственных векторов в этом случае является ортогональной ( ), запишем как следствие свойства 7 равенство

                                  

.                   (1.4)

    Значит, для всякой симметричной матрицы  А найдется диагональная матрица  , ей ортогонально подобная. Вопрос теперь состоит в том, как реализовать хотя бы приближенно равенство (1.3), которое позволило бы найти сразу все собственные числа матрицы А (элементы диагонали матрицы ) и все соответствующие им собственные векторы (столбцы матрицы Х)? Один из возможных ответов состоит в применении к А последовательности однотипных преобразований, сохраняющих спектр и приводящих в пределе данную матрицу к диагональному виду.