Матрицы

Матрицы

Матрицей размера т´п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С,..., а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: а_ij, где i — номер строки, j — номер столбца. 

1. Дописать  недостающие элементы в записях матриц:

 

Две матрицы  А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. а_ij=b_ij, для любых  

2. Выяснить  равны ли матрицы  А и В:

 

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца — матрицей-столбцом (вектором-столбцом). 

3. Из  предложенных матриц найти матрицы-строки и матрицы-столбцы:

 

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно n (в противном случае матрица прямоугольная размера т´п). 

4. Придумайте  и запишите квадратные и прямоугольные матрицы:

 

Элементы  матрицы a_tj, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а₁₁, а₂₂, …, а_nn. 

5. Подчеркните диагональные элементы каждой матрицы:

 

Если  все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. 

6. Подчеркните диагональные элементы и укажите элементы главной и побочной диагоналей квадратных матриц:

 

7. Укажите диагональные матрицы:

Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. 

8. Укажите треугольные матрицы. Из треугольных матриц выберите верхнетреугольные и нижнетреугольные:

 

Если  у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-гo порядка – Е. 

 

10. Укажите единичные матрицы:

 

11. Укажите вид матрицы:

 

Матрица любого размера называется нулевой, или  нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю – О.

В матричном  исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1´1=5. 

12. Укажите нулевые матрицы:

 

 

Действия  над матрицами 

Умножение матрицы на число: Произведением матрицы А на число l называется матрица В=Аl, элементы которой b_ij=а_ijl, для

Общий множитель всех элементов матрицы  можно выносить за знак матрицы. 

13. Выполните действия:

 

Операции  сложения и вычитания матриц выполняются только для матриц одинаковых размеров (порядков): 

Сложение  матриц: Суммой двух матриц А и В одинакового размера т´п называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij=а_ij+b_ij, для (т.е. матрицы складываются поэлементно). 

Вычитание матриц: Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)·В. 

14. Вычислите сумму и разность матриц (если возможно):

 

 

Операция  умножения выполняется только для матриц, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. 

Умножение матриц: Произведением матриц А_т´k·В_k´п называется такая матрица С_т´n, каждый элемент которой с_ij, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

15. Вычислите произведение матриц (если возможно):

Транспонирование  матрицы: переход от матрицы А к матрице А¢ (А^т), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А¢ (А^т) называется транспонированной относительно матрицы А.