Матрицы и определители

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Ноября 2010 в 18:23, Не определен

Описание работы

Контрольная работа

Скачать архив (93.75 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

Юнита 1.doc

— 375.00 Кб (Скачать файл)

       

     Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.  
 
 

     Пример  5. Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец . 

      .

     Умножение возможно, т.к. вектор можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А будет иметь порядок 4.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с11, с21, с31, с41. 

     с11 = 1.4-1.2+0 = 2;     с21 = 0.4+2.2-4.1 = 0;

     с31 = 4+2 = 6;              с41 = -4+4 = 0.  

      . 

     Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет  вектором.  

     Примеры решения задач  на вычисление определителей. 

     Теория  изложена в главе 2 §1.

     Пример 1. Вычислить определитель . 

     

     Вычислим  по правилу Саррюса 

     D = 1(-1) . (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83. 

     Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.

     Найдем  алгебраические дополнения.  

       

     D = 1. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83. 

     Пример 3. Вычислить определитель 4го порядка.  
 

      . 

     Найдем  алгебраические дополнения А12, А13 

     

     D = 0.  

     Примеры решения задач  на вычисление обратной матрицы. 

     Теория  изложена в главе 3.  

     Пример 1. Найти обратную к матрице  

       

     Вычислим  алгебраические дополнения всех элементов  данной матрицы 

     А11 = +(-4)=-4     А21 = -(-2)=2

     А12 = -3               А22 = +1 

     Найдем  определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2 

       

     Проверка 

      . 
 
 
 
 

     Пример 2. Найти обратную к матрице 

       

       

     D(А) = -2 

       

     Проверка 

      .

 

      Перечень умений. 

№

п/п

 Умение Алгоритмы
1 Линейные операции над матрицами. Вычисление С=aА+bВ, где a,b - числа, А,В – заданные матрицы.
  1. Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», то перейти к п.2, в противном случае вычислит С нельзя.
  2. Умножить все элементы матрицы А на число a
 
aА = (aаij)m,n 

3. Умножить все  элементы матрицы В на число b 

bВ = (bbij)m,n  

4. Вычислить  элементы матрицы С по формулам:  

    сij = aаij + bbij , i = 1,2, …m,  j = 1,2…n 

2 Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы А на В.

С = АВ

 1. Проверить,  совпадает ли число столбцов  матрицы А = (аij)m,n с числом строк матрицы

В = (bij)n,k («согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить А на В. В противном случае вычислить С нельзя.

2. Определить  порядок матрицы произведения6

С = (сij)m,k имеет порядок mxk, где m – число строк первого множителя А, k – число столбцов второго множителя В.

3. Вычислить  каждый элемент матрицы произведения  С по формулам:

    сij = аi1b1j + аi2b2j + … + аinbnj

    i = 1,2, …m,  j = 1,2…n. 

4. Выписать полученную  матрицу С. 

3 Вычисление  определителей 3го порядка по правилу Саррюса 1. По схеме  Саррюса составить произведение  трех элементов определителя, взяв  по одному из строки и столбца. 

2. Вычислить  определитель, подсчитав сумму полученных произведений, взяв эти произведения с соответствующим знаком.

4 Вычисление  определителей разложением по первой строке 1. Найти миноры  Mij элементов первой строки вычеркивая последовательно элементы первой строки и j-ый столбец (j = 1,2 …,n), составляя из оставшихся элементов определители.

2. Найти алгебраические  дополнения элементов первой  строки 

А1j = (-1)1 + jMij

3. Вычислить  определитель 

4. D = а11А11 + а12А12 +…+ а1nА1n

 
5 Вычисление  обратной матрицы  1. Найти алгебраические  дополнения элементов матрицы  Аij = (-1)i + jMij

2. Вычислить определитель матрицы D(А)

3. Найти обратную  матрицу  

 

 

Тренинг умений. 

Пример  выполнения упражнения тренинга на умение 1. 

Задание 

      Вычислить матрицу С = 5А – В, где  

. 

Решение. 

      Предварительно  заполните таблицу, подобрав к каждому  алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

№ Алгоритм Конкретное  соответствие данного задания предложенному  алгоритму
1 Определить, имеют  ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», перейти к п.2, в противном случае вычислить  С = 5А – В нельзя Обе матрицы  имеют порядок 2.3 (на первом месте число строк, на втором – число столбцов).

Матрицы одного порядка, переходим к п.2.

2 Умножить все  элементы А на число 5
3 Умножить все  элементы В на (-1)
4 Вычислить элементы матрицы С:

сij = 5аij – вij
 

Решите  самостоятельно следующие  задачи: 

     Задача 1.  

     Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В. 

      . 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2.  

     Даны  матрицы А и В. Найти С = 3А  – 2В. 
 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пример  выполнения упражнения тренинга на умение 2. 

Задание 

      Даны  матрицы А и В. Найти матрицу  С = АВ, если возможно.  

      . 

     Решение. 

      Предварительно  заполните таблицу, подобрав к каждому  алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

№ Алгоритм Конкретное  соответствие данного задания предложенному  алгоритму
1 Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы А с числом строк В («согласованы» ли их порядки).

В противном  случае умножение А на В невозможно.

Матрица А имеет  порядок 2.3, число ее столбцов равно 3, матрица В имеет порядок 3.3, число столбцов у нее 3, порядки «согласованы», существует произведение А на В 

С = АВ

2 Определить  порядок матрицы произведения: С  имеет порядок mxk , где m – число строк А, n – число столбцов В. Порядок матрицы  С будет 2.3, т.к. матрица А имеет 2 строки, а матрица В имеет 3 столбца  

С = (сij)23

3 Вычислить каждый элемент матрицы С по формулам:

    сij = аi1b1j + аi2b2j + … + аinbnj

    i = 1,2, …m,  j = 1,2…n. 

Вычисляем элементы первой строки

    С: i = 1,  j = 1,2,3 

с11 = а11b11 + а12b21 + а13b31=

=(1.1)+2(-1)+(-1) .1=-2

с12 = а11b12 + а12b22 + а13b32=

=1.2+2. (-3)+(-1) .4=-8

с13=а11b13 + а12b23 + а13b33=

=1.0+2.0+(-1) .1=-1

Вычисляем элементы второй строки:

i = 2,  j = 1,2,3 

с21=а21b11 + а22b21 + а23b31=

=3.1+1. (-1)+0.1=2

с22=а21b12 + а22b22 + а13b32=

=3.2+1. (-3)+0.4=3

с23=а21b13 + а22b23 + а23b33=

=3.0+1.0+0.1=0

4 Выпишем полученную матрицу-произведение
 
 

     Решите  самостоятельно следующие  задачи. 

     Задача 1.  

     Найти произведение матриц АВ и ВА, если они  существуют.

     Сравните  матрицы-произведения.  

     а)  
 
 
 
 
 

     б)   
 
 
 
 
 
 
 

     с) . 
 
 

     Задача 2.  

     Вычислить произведения АВ и ВА. 

      . 

     Совпадают ли матрицы произведения АВ и ВА?  
 
 
 
 
 
 

     Задача 3.  

     Вычислить А3, где матрица задана: 

       

     Указания: найти сначала произведение АА = А2, затем нужно умножить А2

     на  А,

     А3 = А2.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 4. Найти произведение АВ и сравнить с матрицей ВА.  

      . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Пример  выполнения упражнения тренинга на умение 3. 

     Задание 

     Вычислить определитель 

      . 

     Решение. 

Предварительно  заполните таблицу, подобрав к каждому  алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

№ Алгоритм Конкретное  соответствие данного задания предложенному алгоритму
1 Перемножить элементы определителя главной диагонали  и параллельно главной диагонали  построить треугольники, взяв элементы по одному из строки  и столбца, сложить  их. Соответствует формуле Саррюса (треугольника)

2.2. (-5)-1.0(-2)+3.3.4=

=-20+48=28

2 Перемножить элементы побочной диагонали и параллельно  побочной построив треугольники, затем  сложить их, поменяв знак каждого  произведения. -(-2.2.4+3. (-1)(-5)+3.0.2)=

=-(16+15)=1

3 Вычислить определитель, сложив полученные результаты D=28+1=29

Определитель  равен 29.

Информация о работе Матрицы и определители