МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РЕСПУБЛИКИ  КАЗАХСТАН 

Рудненский  индустриальный институт 

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 

МАТЕМАТИКА

 

ЮНИТА № 1 

Матрицы и определители. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рудный 2005

 ББК 22.1я73

Авторы : О.Е.Дейвальт

Рецензент:  Т.А.Калдыбиев

Рекомендовано к изданию УМС РИИ 

Курс: Математика. Базовый курс.

Юнита 1.  Матрицы  и определители

Юнита 2   Системы линейных уравнений

Юнита 3   Векторная алгебра

Юнита 4   Аналитическая геометрия на плоскости

Юнита 5   Аналитическая геометрия в пространстве

Юнита 6   Предел функции и непрерывность

Юнита 7   Дифференцирование

Юнита 8   Исследование функций и построение графиков

Юнита 9   Неопределенный интеграл.

Юнита 10 Определенный интеграл

Юнита 11  Дифференциальное исчисление функции многих      переменных.

Юнита 12  Диффференциальные уравнения (1 и высших порядков) Юнита 13  Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Юнита 14  Числовые и функциональные ряды

Юнита 15  Ряды Фурье

Юнита 16  Кратные интегралы

Юнита 17  Криволинейные интегралы

Юнита 18 Линейное программирование

Юнита 19  Теория вероятностей

Юнита 20 Математическая статистика                                           

ЮНИТА  1

     В данном учебном пособии содержится материал, включающий понятия матриц, определителей, их основных свойств, понятие обратной матрицы. Комплектуется файлом материалов. 

     Для студентов технических специальностей: 050707, 050709, 050726, 050730, 050729, 050724, 050713, 050718, 050702, 050731, 050901, 050703.

     Для студентов  экономических специальностей: 050506, 050511

Юнита соответствует  типовой образовательной программе        

     Для внутривузовского использования

© Рудненский индустриальный институт 2005 
 

Содержание 

Тематический  план………………………………………………………..4

Литература…………………………………………………………………5

Тематический обзор……………………………………………………….6

Глава 1. Матрицы………………………………………………………….7

§1. Основные определения………………………………………………..7

§2. Линейные операции над матрицами…...……………………………..8

§3. Умножение  матриц………….…………………………………………8

Глава 2. Определители……………………………………………………10

§1. Определители второго и более высоких порядков……………………………………………………………………10

§2. Свойства определителей………………………………………………12

Глава 3. Обратная матрица. Существование и структура  обратной матрицы…………………………………………………………………….13

Файл  материалов….………………………………………………………16

Перечень умений…………………………………………………………...21

Тренинг умений…………………………………………………………….23

Задания для  самостоятельной работы……………………………………………………………………….30

Глоссарий

 

Тематический  план 

Матрицы, действия над матрицами (сложение, умножение  на число, умножение матриц).

Определители 2^го и 3^го порядков.

Правило Саррюса (треугольника).

Свойства определителей. Обратная матрица.

 

Литература 

Основная 

1. И.В. Виленкин, В.М. Гробер Высшая математика. Ростон-на-Дону, 2002
2. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Краткий курс высшей математики. Т. 1, М. 1978

 

Дополнительная 

3. П.Е. Данко,  А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова  Высшая математика в упражнениях  и задачах. Ч. 1. М. 1980

 

Тематический  обзор 

      Широкое применение математических методов  в самых различных областях науки, техники, экономики и практической деятельности инженеров предъявляет повышенные требования к изучению математических приемов. Особенно важны методы и приемы линейной алгебры, наиболее простые и важные из которых рассматриваются в этом курсе.

В задачи нашего курса входит ознакомление с  действиями над матрицами, изучение вычисления определителей, нахождения обратной матрицы.

 

Глава 1. Матрицы 

§1. Основные определения. 

     МАТРИЦЕЙ размера m ^.n называется прямоугольная таблица чисел 

, 

содержащая  m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы а_ik имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы:  

А = (а_ik)_m,n 

      Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n, если она состоит из n строк, и n столбцов.

      Матрица размера 1 ^.n называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m^.1  - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ.

      НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

     ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:  

     

. 

     ЕДИНИЧНОЙ  называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а в се остальные элементы – нули:  

     

. 

     Матрицы А = (а_ik)_m,n и В = (в_ik)_m,n называются РАВНЫМИ, если а_ik = в_ik   i = 1,…,m

     k = 1,…,n. 
 
 
 
 
 

     §2. Линейные операции над  матрицами. 

     СУММОЙ матриц А = (а_ik)_m,n и В = (в_ik)_m,n называются матрица А + В = (а_ik + в_ik)_m,n.

     ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а_ik)_m,n  на число l называется матрица lА = (lа_ik)_m,n.

     Для любых матриц одинакового размера  и любых чисел l и m выполняются свойства:

     1) А + В = В +А   2) А + (В + С) = (А + В) + С

     3) А + 0 = А    4) l(mА) = (lm)А

     5) l(А + В) = lА + lВ  6) (l + m)А = lА + mА

     Докажем свойство 5):

     l(А + В) = (l(а_ik + в_ik)) _m,n = (lа_ik +lв_ik) _{m,n =} (lа_ik)_m,n + lв_ik) _m,n = lА + lВ

     Доказательство  Остальных свойств читатель проведет самостоятельно.

     ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица А^Т, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.  

     ПРИМЕР 1. Даны матрицы 

        и     

     Построить матрицу С = 2А – 3В + А^Т. 

     РЕШЕНИЕ. 

      - + 

     + = . 
 

     §3. Умножение матриц. 
 

     ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а_ik)_m,р  на матрицу В = (в_ik)_р,n называется матрица D размера m^.n с элементами  

     

 

     Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.

     ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы  

       на  матрицу  . 

     РЕШЕНИЕ.  

       

     т.е. . 

     В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк  второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А*В существует, а произведение В*А – нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т.е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А*В¹В*А. Если А, В, С – квадратные матрицы одинакового порядка и Е – единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:  

  

     Свойство 1) оставим без доказательства ввиду  его громоздкости.

     Докажем 2): 

 

      Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.

 

Глава 2. Определители 

§1. Определители второго  и более высоких  порядков. 

     Пусть - квадратная матрица 2-го порядка. 

     Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число  

     D(А) = . 

     Пример. Вычислить определитель матрицы 

      . 

     РЕШЕНИЕ. D(А) = . 

     Пусть - матрица 3-го порядка.