Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц

 Числовая  последовательность называется  монотонно убывающей, если каждый  следующий элемент меньше предыдущего.

Числовая последовательность называется неубывающей, если выполняется условие

Числовая последовательность называется неубывающей, если выполняется  условие 

Числовая последовательность называется стационарной, если .

Числовая последовательность называется ограниченной, если можно указать такое число А, что для всех n выполняется условие

- убывающая ограниченная, - ограниченная.

Пусть задана числовая последовательность, изобразим элементы этой последовательности в виде точек на числовой оси

тогда монотонное возрастание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена правее предыдущей.

Монотонное убывание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена левее предыдущей.

Очевидно, что  числовая последовательность , будет ограниченной тогда и только тогда, когда можно указать отрезок , такой, что " ,  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

24. Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся  последовательностей.

Ни для одного значения n для данной числовой последовательности не может выполнятся условие , действительно, если это условие выполнимо для данного ,

Элементы данной числовой последовательности могут  сколь угодно близко располагаться  около 1. , значит расстояние от точек соответствующее элементам , до точки 1 равно , поэтому какое бы не было положительное число d не было задано, всегда будет выполнятся условие , d=0,01, , n>100.

e - окрестностью числа А называется множество чисел удовлетворяющих неравенству e - интервал (А-e,А+e)

Пусть дана числовая последовательность . А – называется пределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого числа e можно указать такй номер N, что все эти элементы числовой последовательности , будут попадать в e окрестности числа А при , , .

Последовательность  для которой существует предел, называется сходящейся.

Если число  А является пределом числовой последовательности А_n, то это означает, что все элементы числовой последовательности попадают в сколь угодно малую окрестность числа А, начиная с некоторого номера.

Теорема 1: всякая сходящая числовая последовательность имеет единственный предел.

Теорема 2: всякая сходящая числовая последовательность ограничена.

Теорема 3: пусть  даны три числовые последовательности, , предположим, что " n .

Пусть последов. и являются сходящими, причём , тогда последовательность также является сходящейся и , теорема о двух милиционерах.

Выберем произвольное положительное число e, "e найдём N₁ и N₂, такие чтобы выполнялись Þ неравенства:

, (1)

, (2)

N – max из (N₁, N₂), тогда "n>N одновременно выполняются неравенства:

А-e<a_n<A+e (3)

А-e<c_n<A+e (4)

Поэтому "n>N выполняются неравенство:

А-e<a_n <A+e, А-e<b_n<A+e, , таким образом является сходящейся и имеет .

Теорема 4: всякая монотонно возрастающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.

Всякая монотонно  убывающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.

Арифметические  св-ва сходящихся последовательностей.

, .

Теоремы:

1)

2)

3) А¹0,

25.

   
 
 

26. Понятие функции. 

Пусть на некотором  числовом множестве m определено правило, по которому каждому числу из множества m ставится в соответствии некоторое вещественное число. Тогда говорят, что на множество M задана функция. Множество M – называется областью определения этой функции. Обычно предполагают, что множество M представляет некоторый интервал, открытый или замкнутый ограниченный или ¥. Множество точек X принадлежащих множеству M будет образовывать на числовой оси некоторое множество. Это множество будет называться открытым, если вместе с любой точкой X из этого множества этому множеству M принадлежит некоторое ε окрестность X. Точка X Î M называется граничной точкой, если в любой e окрестности точки X можно указать точки, не принадлежащие множеству M. Множество М называется замкнутым, если дополнительное к нему множества является открытым R^\ M. Объединение любого числа отрытых множеств является открытым множеством, пересечение конечного числа множеств является открытым множеством. Следует, что пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутым, объединение конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми. Пусть на множестве M определена функция. Это будем                              обозначать следующим образом: y = f(x), x Î M; x Î M . Величина x будет называться независимой переменной или аргументом y значение, которой зависит от x - называется зависимой переменной или функцией. Рассмотрим на координатной плоскости множество точек G = {(x; f(x)), x Î M}. Множество G – называется графиком функции. Пусть на множестве M определены две функции y = f(x); y = g(x), тогда функция h(x) значение, которой вычисляется по правилу h(x) = f(x) + g(x) – является суммой. Функция h(x) = f(x)g(x) называется произведением. Функция может быть задана различными способами: 1) Графический способ 2) Словесный или сательный 3) Аналитический. Пусть на множестве x определена функция y = f(x) со значениями во множестве Y предположим, что на множестве Y определена функция со значениями множествам X x = g(y). Пусть при этом выполнены условия x = g(f(x)), y = f(g(y)). Тогда функция x =g(y) – называется обратной функцией по отношению к функции y = f(x). Из определения следует, что функция y =f(x) так же является обратной функцией по отношению к функции x =g(y) по этому эти функции называются взаимно обратными. Примеры: 1) xÎ[0;¥] yÎ[0;¥]   g(f(x)) =g   f(g(y))= . 2) Пусть дана функция ; ; y = h(v) = h(g(u))®h(g(f(x)));            y = f(x), x = g(y), y = f(g(y)), x = g(f(x));  g = lnx , , f(x) = lnx,  , ,   3) ,  , ; ,x = arctgy, tg(arctgy) = y, yÎ(-¥;¥), arctg (tgx) = x, . график функции y = f (x), график функции x = g(y), тогда     . Таким образом графики двух взаимно обратных функций совпадают, т. к. обычно через x обозначают независимую переменную, а через y зависимую переменную, то удобнее обратную функцию x = g(y) записывать в виде y = g(x) это приведет к тому, что график функции y = g(x) будет симметричен графику функции x =g(y),  относительно биссектрисы одного координатного угла.         

27. Предел функции  в точке. x = f(x), Xo ÎD(f) Xo – называется точкой сгущения, если в любой ее окрестности всегда можно указать точки из области определения функции y = f(x). Дальше всегда будем считать, что Xo точка сгущения. Число A называется пределом функции y =f(x), при , если для любой числовой последовательности Xn сходящейся к Xo, . Это определение эквивалентно следующему: A называется пределом функции f(x) при X ® Xo, если для любого числа e можно указать такое положительное число Δ, то из неравенства . Из свойств пределов следует: 1)    2)       3)      4) .

28. Асимптоты. Опр.  Если точка (x; y) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из них координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Если существует число a такое, что , то прямая x = a является вертикальной асимптотой. Если существуют пределы , то прямая будет асимптотой (правая наклонная или, в случае K1 = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы , то прямая - асимптота (левая наклонная или, в случае K2 = 0, левая горизонтальная асимптота). График функции y = f(x) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой или левой асимптоты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

30.

        
 

31) Вычисление предела  .

Пусть X>0, угол измеренный в rad. AB=sinx, È AC=x, DC=tgx, очевидно, что AB<AC<ÈAC<DC, sinx<x<tgx, поделим обе части неравенства на sinx: , (1), , , , , , т.к. при , , то

, Þ , таким образом, sinx и х являются эквивалентны бесконечно малым величинам, из доказанного предела следует, что  

32. Непрерывность функции  в точке и на  интервале. Примеры.

Пусть ф-я y=f(x), определена на некотором интервале (a;b), пусть , тогда ф-я y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b).

Если ф-я y=f(x) является непрерывной в каждой точке интервала (a;b), то она непрерывна на интервале (a;b) из свойств lim Þ что если ф-я y=f(x) и y=g(x), являются непрерывными в точке, и на интервале (a;b), то их сумма, произведение, частное и произведение f(x) на константу k, также непрерывны в этой точке.

- докажем непрерывность этой ф-ии в некотррой точке х₀:

,

,

, , ,  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

33. Свойства ф-ий, непрерывных  на отрезке.

Теорема Больцано-Коши.

y=f(x), (a;b), x₀Î(a;b), для того чтобы ф-я y=f(x) была непрерывна в т. x₀, необходимо и достаточно, чтобы "e>0 $d(e)>0 , Þ

Первая теорема  Больцано-Коши.

Пусть на отрезке  определена непрерывная ф-я y=f(x), предположим, что в точках а и b эта ф-я принимает значения разных знаков, тогда найдётся т. с, такая, что f(c)=0.

Д-во.

Предположим для  определённости, что f(b)>0. Пусьт , если f(c₁)=0, то f(a)<0, тем самым т., существование которой утверждается в теореме найдена. Если f(c)¹0, то на концах одного из отрезков (a;c₁) или (c₁;b), ф-я y=f(x) принимает значения разных знаков.

 Обозначим  отрезок  и поступим с ним таким же образом, как и с отрезком , продолжим этот процесс до бесконечности. Возможны два случая:

а) на каком-нибудь конечном шаге найдётся точка с_n f(c_n)=0, тем самым будет найдена точка существования которой утверждается в теореме.

б) "c_n f(c_n)¹0, рассмотрим отр. , c_nÎ , f(a_n)<0, f(b_n)>0, l - длина , тогда длина = , образует монотонно возрастающую последовательность, а последовательность является ограниченной.

, , ,

поэтому , , f(c*)=0.

Вторая теорема  Больцано-Коши.

Пусть на отрезке  определена непрерывная ф-я y=f(x), f(a)=A, f(b)=B, A¹B, тогда ф-я y=f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.