Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц

1.Матрицы  и линейные операции  над ними. Умножение  матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, числа  из которых состоит матрица называют её элементами.

Количество строк  и столбцов определяют размерность  матрицы. Например(m´n). Если количество строк совпадает с количеством столбцов, то матрица – квадратная, в этом случае кол-во строк (столбцов) определяют порядок матрицы.

Матрица у которой  диагональные элементы равны еденице, а все остальные нулю -  называют единичной матрицей.(E,J)

Матрицу С (m´n) называют суммой матриц А и B, если С_ij определяются следующим образом С_ij=a_ij+b_ij

Матрицу С (m´n) называют разностью матриц А и B, если С_ij определяются следующим образом С_ij=a_ij-b_ij

Матрицу С (m´n) называют произведением матрицы А на вещественное число l если С_ij определяются следующим образом С_ij=la_ij

Матрицу С (m´n) называют произведением матрицы А на матрицу В если:

1. Матрица С имеет размерность (m´n)
2. Элементы матрицы С определяются следующим образом:

С_ij= , C_ij=a_i1´b_1j+a_i2´b_2j+a_i3´b_3j+…+a_ik´b_kj

Из определения  произведения матриц следует, что кол-во столбцов матрицы А должно совпадать  с кол-вом строк матрицы В. Произведение матриц вычисляется по правилу “строка  на столбец”. Для того чтобы вычислить  элемент С_ij необходимо все элементы i строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j столбца матрицы В и сложить. А´В¹В´А.

А^*=(а^*_ij) называется транспонированной по отношению к матрице А если выполняется равенство а^*_ij=а_ji, А=(а_ij) таким образом если матрица А имеет размерность (m´n) то А^* имеет размерность (n ´m). 

2.Определители  квадратных матриц  и их свойства. Миноры и алгебраические  дополнения.

Определитель  состоит из слагаемых, каждый из которых  содержит сомножители стоящие в  разных строках и столбцах.

Определителем второго порядка называется число (det(A)), которое равно а₁₁´а₂₂-а₁₂´а₂₁, таким образом определителем второго порядка называют следующее выражение

Определителем третьего порядка называется число (det(A)), которое вычисляется при помощи равенства det(A)=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₃₁a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₁a₂₃a₃₂

Свойства определителей

а) Определитель транспонированной матрицы равен  определителю исходной матрицы.

б) Если все элементы строки умножить на некоторое число, то и величина определителя умножится на это же число.

в) Если определитель содержит строку (столбец) все элементы которой равны нулю, то такой определитель равен нулю.

г) Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то этот определитель равен нулю.

д) Если в определителе поменять местами строки (столбцы), то знак определителя изменится на противоположный.

е) Величина определителя не изменится если ко всем элементам  одной строки прибавить все элементы другой, умноженные на некоторое число. (Аналогично для столбцов).

ё) Если какую-либо строку определителя можно представить  в виде суммы двух строк a₁ и a₂ , то тогда определитель можно представить в виде суммы двух определителей в одном из которых рассматриваемая строка заменена на строку a₁, а в другом на a₂.

ж) (Теорема Лопласа) Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц. det(A´B)=det(A)´det(B).

Алгебраические  дополнения и миноры.

Минором k-го порядка называют определитель размерностью (k´k), выбранный из матрицы размерностью (m´n).

Если в матрице  А вычёркивается строка N_i, а столбец N_j, то минор, получающийся при удалении строки и столбца называется алгебраическим дополнением. 

3. Определитель n-го порядка. Теорема о разложении определителя.

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет произведение n элементов матрицы стоящих в разных строках и разных столбцах, знак с которым каждое слагаемое входит в алгебраическую сумму определяется чётностью подстановки составленной из индексов элементов входящих в данное произведение.

Теорема.

Пусть дана матрица  А порядка n, тогда определитель матрицы А можно представить в виде суммы произведений элементов какой-либо строки на их алгебраическое дополнение. Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другой строки равна нулю. Аналогичное утверждение имеет место для столбцов.

det(A)= , , если i¹j. , если j¹k.

Данная теорема позволяет сводить вычисления порядка n к порядку n-1. Если определитель матрицы А равен нулю, то такая матрица называется вырожденной. Если какой-нибудь минор равен нулю, то он называется вырожденным минором.

Наивысший порядок  не вырожденных миноров называют – рангом (rang(A)) 

4. Обратная матрица.  Построение обратной  матрицы.

Пусть дана квадратная матрица А=(a_ij), матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство: А´В=В´А=Е. Если такая матрица В существует, то её обозначают А^-1.

Метод Гаусса нахождения обратной матрицы:

1. Строится матрица  Ã=(А/Е), которая получается из матрицы А приписыванием справа единичной матрицы.
2. При помощи элементарных преобразований матрицу  Ã приводят к виду (Е/В), если это удаётся сделать, то матрица В будет обратной. Если невозможно, то обратной матрицы не существует, как правило это происходит тогда, когда в результате элементарных преобразований получается матрица, у которой в некоторой строке первые n элементов равны нулю.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

Системой линейных уравнений называют систему равенств:

a_ij, b_{j –} заданные. x_{j –} неизвестная.

Решением этой системы называется такой набор  чисел x₁, x₂,…x_n. для которых уравнения превращаются в верные равенства.

A= ,  Х= ,  В=

Х и В –  называются вектор столбцами. В матричном  виде система выглядит А´Х=В.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система не совместна.

Система  называется определённой, если она имеет единственное решение, если система имеет более  одного решения то система неопределённая.

Решение системы  линейных уравнений с помощью  метода Крамера.

Где А_ij – алгебраические дополнения. Умножим первое у-е на А₁₁, а второе на А₂₁ и тд. Сложим получившиеся равенства:

По теореме  о разложении определителя по элементам  столбца сумма слагаемых стоящих перед x₁ будет равна определителю матрицы А.  Сумма слагаемых перед x₂ и x₁ будет равна нулю. В правой части равенства стоит величина равная определителю, который получается из определителя матрицы А с заменой первого столбца на вектор столбец В. Обозначим этот определитель через , тогда равенство можно записать в виде   , если первую строку системы умножить на А₂₁ и тд., и сложим получившиеся равенства, то получим , где - определитель полученный из определителя матрицы А заменой второго столбца на вектор столбец В. Продолжая этот процесс получим систему линейных уравнений:

 

Числа x_1, x₂, …x_n являются решениями системы. 

6. Решение системы  линейных уравнений  с помощью обратной  матрицы. Метод  Гаусса решения  систем линейных  уравнений.

Для данной системы  построим расширенную матрицу, Ã которая равна:

Ã=

Будем выполнять над матрицей А элементарные преобразования так, чтобы привести её к виду, когда все элементы лежащие ниже диагонали будут равны нулю. Под элементарными преобразованиями понимают: изменение местами двух строк (столбцов) матрицы Ã; прибавление к элементам одной строки элементов другой умноженных на некоторое число.

  Ã =

Расширенная матрица  иногда называется присоединённой. Каждой системе линейных уравнений соответствует  своя матрица Ã, зная матрицу Ã  можно записать систему линейных уравнений, которая ей соответствует.

Если k¹n, то такой вид матрицы называется трапецевидный.

Если k=n, то такой вид матрицы называется треугольный.

Если получается трапецевидная матрица в процессе элементарных преобразований, это означает что система имеет не одно решение.

Если получается треугольный вид то матрица имеет  одно решение.

Если матрица  Ã приведена к трапецевидному виду, то перенося все неизвестные, которые расположены правее диагонали  и придавая им произвольные значения, можно найти всевозможные решения первоначальной системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Однородные системы.  Условия существования  нулевых решений.  Понятие ранга  матрицы.

Рассмотрим АХ= , = ,  Х= - векторстолбец.

Эта однородная система всегда является совместной, т.к. она всегда имеет решение  х=0. Решения этой системы обладают свойствами:

Если х₁ и х₂ являются решениями системы, то так же является решением этой системы.

 

Говорят, что  решение однородной системы образует конечномерное линейное векторное  пространство.

Пусть имеется  векторов: .

Векторы называют линейно независимыми, если из равенства следует, что все , в противном случае если векторы линейнозависимые.

Пусть матрица  А имеет вид:

,  ,  , 

Тогда систему  можно записать в виде , из равенства видно что если система не имеет не нулевых решений, то векторы являются линейнонезависимыми. Если система имеет нулевое решение, то векторы являются линейнозависимыми.

Теорема:

Для того чтобы  векторы  были линейнонезависимы, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы А образованный этими элементами равнялся n. Таким образом, чтобы решить однородную систему у-ий АХ= необходимо выполнить следующие действия: вычислить ранг матрицы А, если ранг совпадает с числом неизвестных, то однородная система линейных у-ий имеет одно решение. Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных, то в матрице А можно найти S строк и S столбцов, таких, что определитель составленный из элементов лежащих на пересечении выбранных строк и столбцов не равнялся нулю.