Матричные игры

для ситуации 2 х n рассматривается

только  со стороны игрока А,

при этом решением будет нижняя

огибающая, для ситуации m x 2

рассматривается только со стороны 

игрока  В, при этом решением будет 

верхняя огибающая. 
Нахождение решения на примере задачи.

     

     Дана  произвольная матрица. Найти решение.

     Решение.

     Для попробуем найти седловую точку 

      Минимакс=4, максимин=6, седловой точки  нет. Попробуем упростить. Третья строка доминирует над первой и второй –  оставляем третью. Второй столбец  доминирует над первым и четвертым - оставляем второй. Получаем матрицу:

     

     данную  матрицу можно решить графическим  методом:

      В данном решении видно, что для  нахождении оптимального решения игрок  А должен придерживаться стратегии  А₁, цена игры будет равна 6, что соответствует стратегиям А₁ и В₁ игроков.

 

      3. Биматричные игры.

     Примеры биматричных игр. Смешаные стратегии.

     Рассматривая  матричные игры нельзя не сказать, что  матричные игры – частный случай биматричных игр. Рассматривая биматричные  игры надо сказать, что в данном случае выигрыш одного из игроков это не аналогичный проигрыш другого, также стоит отметить, что выигрыши в биматричных играх могут быть абсолютно различными. Так, рассматривая игру «Дилемма заключенного» или «Студент - преподаватель» мы сталкиваемся с так называемыми различными стоимостными оценками ситуаций. Приведем обе игры.

     «Дилемма заключенного».

     Два преступника ожидают приговор суда за совершенное деяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться и сознаться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:

     

     «Студент - преподаватель».

     Рассмотрим  следующую ситуацию. Студент (игрок  А) готовится к зачету, который  принимает преподаватель (игрок  В). Можно считать, что у студента две стратегии – подготовится к сдаче зачета (+) и не подготовится (-). У преподавателя также две стратегии – поставить зачет [+] и не поставить зачета [-]. В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:

 

     

 

     Количественно это можно выразить, например, так:

 

      

     Смешанные стратегии.

     У игрока А существуют стратегии А₁, .., А_m которые появляются с частотами p₁, .., p_m, где p₁ ≥ 0, .., p_m ≥ 0, ∑p_i = 1

     У игрока В все аналогично В₁, .., В_n, частоты q₁, .., q_n, где q₁ ≥ 0, .., q_n ≥ 0, где ∑q_k = 1

     Тогда средний выигрыш игрока А и  В будут

     Н_а = ∑a_ikp_iq_k

     H_b = ∑b_ikp_iq_k

 

      2 х 2 – биматричные  игры. Ситуации равновесия.

     Чтобы было более понятно рассмотрим ситуацию 2 х 2 и её решение.

      Платежные матрицы имеют вид:

       

     Обозначим вероятности применения стратегий:

     p₁ = p; p₂ = (1-p); q₁ = q; q₂ = (1-q), тогда

     Средние выигрыши вычисляются по формулам:

     Н_а(p,q) = a₁₁pq+a₁₂p(1-q)+a₂₁q(1-p)+a₂₂(1-p)(1-q)

     Н_b(p,q) = b₁₁pq+b₁₂p(1-q)+b₂₁q(1-p)+b₂₂(1-p)(1-q), где 0 ≤ p ≤ 1 и 0 ≤ q ≤ 1

     Будем говорить, что пара чисел (p*,q*), 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1, определяют равновесную ситуацию, если для любых p и q, подчиненных условиям 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1 одновременно выполнены следующие неравенства:

     H_a(p,q*)≤H_a(p*,q*), H_b(p*,q)≤H_b(p*,q*)    (1)

     Тем самым получается, что если равновесная  ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку. Для того чтобы проверить правильность неравенств (1), достаточно проверить их на чистых стратегиях игрока А (р=1 и р=0) и чистых стратегиях игрока В (q=1 и q=0). Отсюда получаем:

     H_a(0,q*)≤H_a(p*,q*), H_b(p*,0)≤H_b(p*,q*)    (2)

     H_a(1,q*)≤H_a(p*,q*), H_b(p*,1)≤H_b(p*,q*)

     Если  записать средний выигрыш игрока А более удобным образом мы получим:

     H_a(p,q)=(a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂)pq+(a₁₂-a₂₂)p+(a₂₁-a₂₂)q+a₂₂

     Подставляя  вместо р сначала 1, затем 0 получаем:

     H_a(1,q)=(a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂)q+a₁₂+(a₂₁-a₂₂)q

     H_a(0,q)=(a₂₁-a₂₂)q+a₂₂

     Рассмотрим  разности:

     H_a(p,q) - H_a(1,q) и H_a(p,q) - H_a(0,q) и предполагая, что

     С = a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂ и a = a₂₂-a₁₂ получаем

     H_a(p,q) - H_a(1,q) = (p-1)(Cq-a)

     H_a(p,q) - H_a(0,q) = p(Cq-a)

     Если (p,q) определяет точку равновесия, то

     H_a(p,q) - H_a(1,q) ≥ 0

     H_a(p,q) - H_a(0,q) ≥ 0

     И окончательно получаем

      (p-1)(Cq-a) ≥ 0

     p(Cq-a) ≥ 0.

     Для H_b проделываем те же операции и получаем

     D = a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂ и b = a₂₂-a₂₁

      (q-1)(Dp-b) ≥ 0

     q(Dp-b) ≥ 0.

     Подведем  итоги. Для того чтобы в биматричной  игре пара (р, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств:

      (p-1)(Cq-a) ≥ 0

      p(Cq-a) ≥ 0

     (q-1)(Dp-b) ≥ 0

     q(Dp-b) ≥ 0

     0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1, где

     С = a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂ a = a₂₂-a₁₂

     D = a₁₁-a₁₂-a₂₁+a₂₂ b = a₂₂-a₂₁

 

      Нахождение решения  на примере задачи.

     Рассмотрим  решение задачи «студент - преподаватель».

     Проводя необходимые вычисления и рассуждения  получаем:

     С=2, D=5, a=1, b=1;

     p=1; q≥1/2   p=0; q≤1/2   0≥p≥1; q=1/2

     q=1; p≥1/5   q=0; p≤1/5   0≥q≥1; p=1/5

     Далее отмечаем в системе координат получившиеся точки, отрезки и области, число точек пересечения равно трем:

     p=1;   q=1:   H_a(1,1)=2   H_b(1,1)=1

     p=0;   q=0:   H_a(0,0)=2   H_b(0,0)=-1

     p=1/5;   q=1/2:   H_a(1/5,1/2)=1/2   H_b(1/5,1/2)=-7/5

     

 

      4. Заключение.

     В ходе данной работы мною были рассмотрены  матричные игры, а именно:

     1) Матричные игры с седловой  точкой

     2) Матричные игры 2 х 2

     3) Матричные игры 2 х n

     4) Матричные игры m x 2

     5) Биматричные игры

     6) Графический способ решения данных  игр

     Материал  по данным вопросам был изложен в  достаточно «легкой», понятной простому обывателю форме. Работа, по моему мнению, рассчитана на достаточно широкий круг читателей, кто хочет ознакомится с методикой выработки управленческих решений с помощью математических рассуждений. Рассмотренные вопросы позволяют, как было предложено в начале работы, физическим и юридическим лицам, не вникая в особенности просчета той или иной ситуации, а так же принципы, на основе которых эти вычисления производятся, выработать стратегию действия и, не прибегая к излишним рискам и принять решения.