Математическое описание плоских геометрических проекций

    Аффинное  преобразование есть комбинация линейных преобразований, сопровождаемых переносом.     

    Последний столбец в обобщенной матрице 4´4 должен быть равен , в этом случае H = 1. 

    Перспективному  преобразованию может предшествовать произвольная последовательность аффинных преобразований. Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью Z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяется перспективное преобразование.

    Аналогично  перспективное преобразование, когда  картинная плоскость перпендикулярна  оси Z и совпадает с плоскостью Z = 1/r. Центр проекции находится в центре координат:  

 

 

  

         Двухточечная (угловая) перспектива. Для получения двухточечной перспективы в общей матрице преобразования устанавливают коэффициенты p и q:

 

 

 

    Такое преобразование приводит к двум точкам схода. Одна расположена на оси X в точке ( , 0, 0, 1), другая на оси Y в точке (0, , 0, 1). 

    Рассмотрим  это преобразование на получение проекции единичного куба (рис. 9.).  

   

Рис. 9. Единичный куб для получения двухточечной проекции   

     .  
 
 
 

   В результате получаем проекцию вида, представленного  на рис. 10.

   

Рис. 10.  Двухточечная проекция единичного куба   

 

 

    Для того чтобы создать диметрическую проекцию, необходимо выполнить следующее условие:      

      sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ).  

    Одним способом выбора sinθ является сокращение оси Z в фиксированное число раз. При этом единичный вектор на оси Z, равный [0 0 1 1], преобразовывается к виду

    [X Y Z H] = [sinφ  -cosφ×sinθ   cosφ×cosθ  1]  

или     x* = sinφ;          

y*= - cosφ sinθ.  

    Таким образом, для диметрической проекции получаем  

    φ = 20,705°:

    θ = 22,208°.  

    Для образования изометрической проекции нужно в одинаковое число раз сократить все три оси. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие   

    sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ)  и  sin²φ=(1-2sin²θ)/(1- sin²θ).   

    Таким образом, 

    φ = 35,26439°;  

    θ = 45°.   

    Рассмотрим  теперь косоугольную проекцию (рис. 11.), матрица может быть записана исходя из значений a и l.

    Проекцией точки P(0,0,1) является точка P¢(l cosa,  l sina,  0), принадлежащая плоскости  xy. Направление проецирования совпадает с отрезком РР¢, проходящим через две эти точки. Это направление есть Р¢-Р = (l cosa, l sina, -1). Направление проецирования составляет угол b с плоскостью xy.  

    Теперь  рассмотрим проекцию точки x, y, z и определим ее косоугольную проекцию (x_p y_p) на плоскости xy:  

    x_p = x + z(l cosa); 

    y_p = y + z(l sina).  

    Таким образом, матрица 4´4, которая выполняет эти действия и, следовательно, описывает косоугольную проекцию, имеет вид  

  

 

Рис.  11. Вычисление косоугольных проекций   

    Применение  матрицы М_кос приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта: плоскости с постоянной координатой z = z₁ переносятся  в направлении x на z₁ l cosa и в направлении y на z₁ l sina и затем проецируется на плоскость z = 0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z.  

Для проекции Кавалье l = 1, поэтому угол b = 45°. Для проекции Кабине l=½, а b = arctg(2) = 63,4°. В случае ортографической проекции l = 0 и b = 90°, поэтому матрица ортографического проецирования является частным случаем косоугольной проекции.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Библиографический список  

1. Разработка САПР: в 10 кн. Кн. 7. Графические системы САПР: Практ. пособие. / В.Е.Климов; под ред. А.В.Петрова. -М.: Высш.шк. 1990. -142 с. (36 экз.)

2. Норенков И.П.,  Маничев В.Б. Основы теории и проектирования САПР:  Учеб.для вузов.  - М.:  Высш.  шк.  1990. - 335 с. (72 экз.)

3. Тихомиров Ю. Программирование трехмерной графики.- СПб: BHV, 1999

     4. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. -

      СПб.: БХВ-Петербург,2003.