Математическое описание плоских геометрических проекций

Федеральное агентство по образованию

Омский  государственный институт сервиса

Факультет художественно - технологический

Кафедра конструирования швейных изделий 
 
 
 
 
 
 
 

    Реферат

    по  Теоретическим основам формообразования оболочек

    на  тему Математическое описание плоских геометрических проекций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка

группы 51 К, 5 курса 

Кирпота Елена Владимировна                                                                                                           

                                                                         Проверила     Франк Е. В. 
 
 
 

2009 г 

    Содержание 

    1. Введение…………………………………………………………………………2

    2. Классификация проекций………………………………………………………2

    3. Математическое описание плоских  геометрических проекций……………..6

    4. Библиографический список…………………………………………………...13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1. Введение 

       В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью  n, в системы координат размерностью меньше чем  n.

      Будем  рассматривать случай проецирования трех измерений в два. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проекционных лучей, которые называются проекторами. Проекторы проходят через плоскость, которая называется проекционной или картинной плоскостью и затем проходят через каждую точку трехмерного объекта и образуют тем самым проекцию. Тип проецирования на плоскую, а не искривленную поверхность, где в качестве проекторов используются прямые, а не искривленные линии, называется плоской геометрической проекцией.  

2. Классификация проекций

         

      Полная классификация проекций  приведена на рисунке 1. 
 

 
 

          Простейшей является параллельная прямоугольная проекция. В ней совместно изображаются виды сверху, спереди и сбоку. Эти проекции часто используются в черчении. В зависимости от соотношения между направлениями проецирования и нормалью к проекционной плоскости параллельные проекции разделяются на ортографические или ортогональные, в которых эти направления совпадают, и косоугольные, в которых они не совпадают. В зависимости от положения осей системы координат объекта относительно проекционной плоскости ортографические проекции делятся на аксонометрические и изометрические. В изометрических проекциях оси системы координат составляют одинаковые углы с проекционной плоскостью. В аксонометрических проекциях эти углы разные. Центральная перспективная проекция приводит к визуальному эффекту, подобному тому, который дает зрительная система человека. При этом наблюдается эффект перспективного укорачивания, когда размер проекции объекта изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра проекции до объекта. В параллельных проекциях отсутствует перспективное укорачивание, за счет чего изображение получается менее реалистичным и параллельные прямые всегда остаются параллельными.

          Плоские геометрические проекции делятся на два вида: центральные и параллельные (рис. 2). Если центр проекции находится на конечном расстоянии от проекционной плоскости, то проекция – центральная. Если же центр проекции удален на бесконечность, то проекция – параллельная.

 

Рис. 2. Центральная и параллельная проекции

    Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной   плоскости (рис. 3).

1)       ортографические – направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости;  

2)       косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.   

    

Рис.  3. Ортографические и косоугольные проекции 

    Наиболее  широко используемыми видами ортографических  проекций является вид спереди, вид  сверху(план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны главным координатным осям, то такие проекции называются аксонометрическими.

    При аксонометрическом проецировании  сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

    Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости, (а следовательно и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных  осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потребуем, чтобы |a| = |b| = |c|, или ±a=±b=±c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каждом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изометрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), так как векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же проекционной плоскости.

    Изометрическая  проекция (рис. 4) обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).  

  

Рис. 4. Изометрическая проекция единичного куба

    Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирования не совпадают.

    Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции:

  ·     Кавалье (cavalier) – горизонтальная косоугольная изометрия (военная перспектива);

  ·     Кабине (cabinet) – фронтальная косоугольная диметрия.   

    

Рис. 5. Проекция Кавалье

    В проекции Кавалье (рис. 5.) направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует.   

    

Рис. 6. Проекция Кабине

    Проекция  Кабине (рис. 6.) имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол  = arctg(½) (≈26,5°). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины. Проекции Кабине являются более реалистическими, чем проекции Кавалье, так как укорачивание с коэффициентом ½ больше согласуется с нашим визуальным опытом.

    Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только три такие точки, соответствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно и от числа координатных осей, которые пересекают проекционную плоскость.

    1. Одноточечная проекция (рис. 7).  

    

Рис. 7. Одноточечная перспектива

    2. Двухточечная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании.

    3. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.

3. Математическое описание плоских геометрических проекций

    Каждую  из проекций можно описать матрицей 4´4. Этот способ оказывается удобным, поскольку появляется возможность объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования. 

    Центральная (перспективная) проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую двухмерную плоскость «наблюдения». Перспективная проекция на плоскость Z = 0 обеспечивается преобразованием  

    

Рис. 8. Вычисление одноточечной перспективы

или

где

 

  

    Центр проекции находится в точке с  координатами (0,0,-k) (рис.8.), плоскость проецирования Z = 0. Соотношения между x, y и x*, y* остаются теми же самыми. Рассматривая подобные треугольники, получим, что  

аналогично 

 

    Координаты  x*, y* являются преобразованными координатами. В перспективном проектировании преобразованное пространство не является евклидовым, так как ортогональность осей не сохраняется. При k = ¥ получим аксонометрическое преобразование.