Математические основы решение задачи коммивояжера

• Детерминисткие или стохастические

• Статические  или динамические

• Сосредоточенные  или распределённые системы 

• Дискретные или непрерывные

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминистской  или стохастической. Естественно, что  возможны и смешанные типы: в одном  отношении сосредоточенные (по части  параметров), в другом — распределённые модели и т. д.  

Жесткие и мягкие модели.

Примером  жесткой модели является таблица  умножения. Простейший пример мягкой модели -- принцип "чем дальше в лес, тем  больше дров". Возможность полезной математической теории мягких моделей  открыта относительно недавно. (Арнольд.)

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в  результате сильной идеализации  реальной физической системы. Для решения  вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными  являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением: mddx/ddt=-kx+ef(x,dx/dt)

Здесь f —  некоторая функция, в которой  может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, e — некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система  сохраняет свое качественное поведение  при малом возмущении, говорят, что  она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.  

Универсальность моделей.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.  

Прямая и обратная задачи математического моделирования.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими  моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры  считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда ни различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, - вот типичные примеры прямой задачи

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого  уравнения.

Обратная  задача: известно множество возможных моделей, надо выбор конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).  

Математическое  моделирование в  экологии.

Математическое  моделирование в экологии– достаточно обширная область исследования и  по выбору объектов моделирования, и  по набору методов, и по спектру решаемых задач.

Первые исследования по применению математического моделирования в экологии относятся к двадцатым -тридцатым годам XX - го столетия. Исключение составляет работа Ферхюльста, появившаяся задолго до того, как сама экология сформировалась в виде целостной науки. Наиболее широкое использование математические модели в экологии получили с развитием электронно-вычислительной техники и методологии моделирования в конце шестидесятых годов.

Необходимым условием для построения содержательных математических моделей является наличие  подробной естественнонаучной информации об устройстве и механизмах функционирования системы. Основными принципами, используемыми при построении моделей, являются универсальные законы сохранения. Уравнения должны содержать количественные выражения принятых гипотез о специфических экологических процессах (рождаемости, смертности, питании и т.д.).

Развитие  математико-экологических моделей  можно проследить по эволюции тех  научных и прикладных вопросов, для  ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер.

Первой математической моделью была модель Ферхюльста, она  описывала численность популяции, ее динамику.

Классическими можно считать работы Райли, занимавшегося  моделированием фитопланктона с  учетом влияния освещенности и температуры  на основные физиологические процессы.

Значительный  вклад в методологию моделирования  динамики водных растений был внесен В.В.Меншуткиным. В его монографии систематически изложены основные принципы моделирования водных экосистем  с учетом пространственного распределения  биогенных веществ, а также гидродинамических факторов.

Наиболее  распространенным приемом построения пространственно-распределенных моделей  является использование уравнений  в частных производных, чаще всего  уравнений турбулентной диффузии.

Значительная  часть работ по моделированию природных экосистем имеет прикладной характер. Некоторые работы посвящены описанию систем, подвергаемых воздействию со стороны человека.  

Математические  модели открытых систем.

Пространственно-временная  упорядоченность, согласованность пространственных структур и динамических режимов являются фундаментальными свойствами биосистем и основой их функционирования на всех уровнях организация: от биохимического и клеточного до организменного, популяционного, биогеоценотического.

Многочисленные примеры систем, в которых из хаотических состояний возникают высокоупорядоченные пространственные, временные или пространственно-временные структуры, известны в физике (лазеры, кристаллизация) и в химии (реакция Белоусова-Жаботинского).

Удивительно сложные, высокоупорядоченные структуры от кристаллов до организмов биосферы конструируются без "архитекторов", измерений и чертежей. Сейчас исследователям ясно, что образование таких структур является следствием нелинейных динамических взаимодействий внутри систем на стадии формирования при наличии некоторых внешних условий, основным из которых является подвод потока энергии извне.

Пространственные  структуры, возникающие в открытых системах, И. Пригожин назвал диссипативными. Развито новое научное направление, названное Г. Хакеном (1980) синергетикой (наука о явлениях кооперативности), целью которого является точное количественное описание процессов развития и самоорганизации систем.

Наряду с  экспериментом одним из основных методов исследования явления формирования структур стало математическое моделирование. В математическую модель закладываются биологические представления, гипотезы о кинетических свойствах процессов (скоростях роста, размножения, гибели, интенсивностях взаимодействия). Синтезируя эту информацию, модель позволяет изучить качественно и количественно пространственно-временную структуру, формирующуюся в реальной или гипотетической системе, вскрыть причинно-следственные связи.

Исследуемое явление настолько сложно, что  проанализировать его традиционными биологическими методами было бы невозможно. В свою очередь построение и исследование сложных математических моделей требует развития новых математических методов, служит импульсом развития математической теории. Так осуществляется научный симбиоз математики и биологии.

Берущая начало от работ А. Лотки (Lotka, 1925) и В. Вольтерры (1931) математическая экология накопила большой арсенал моделей исследования временных закономерностей, цикличностей в экосистемах. В последние годы развиваются модели и методы изучения пространственной структуры популяций и сообществ.

Основы анализа  пространственно-временных структур в биохимических системах заложены в работах А. Тьюринга и И. Пригожина.

Традиционным  объектом эколого-математического моделирования является фитопланктон, кинетические процессы роста которого хорошо изучены количественно, а причины наблюдаемого в природе пространственно-временного структурирования не вполне ясны.

Следует отметить, что математическое моделирование  не подменяет собой экспериментальные исследования, а, напротив, стимулирует накопление фактического материала, уточняет направление проводимых экспериментов.

Основными принципами, используемыми при построении моделей, являются универсальные законы сохранения: балансовые уравнения математико-экологических моделей основаны, как правило, на следующих законах: сохранения числа частиц (например, численности особей); сохранения вещества; сохранения энергии.

Кроме этого, уравнения содержат количественные выражения принятых гипотез о специфических экологических процессах (рождаемости, смертности, питания).

Природные экосистемы являются сложными комплексными системами. Для изучения этих систем их расчленяют на простые подсистемы посредством  абстрагирования от относительно слабых взаимодействий.

Первоначально математическому моделированию  подвергалась такая единица, как  популяция. По мере развития методики моделирования и расширения знаний в области экологии популяций  модели совершенствовались и усложнялись, становились более адекватными.

Параллельно, начиная с работ В. Вольтерры, развивались исследования по моделированию  сообществ водных животных и растений. С появлением возможности реализации моделей на ЭВМ были начаты работы по описанию с помощью математических моделей динамики экосистем в целом.

Однако до недавнего времени подавляющее  число работ по математической экологии не учитывало пространственной неоднородности исследуемых систем и использовало лишь кинетические уравнения. В то же время все больше исследователей признают, что пространственные явления имеют принципиальное значение в функционировании экологических систем.

Первая в  математической экологии работа, направленная на изучение пространственной неоднородности, принадлежит Дж. Скеламу (Skellam, 1951). Им исследованы процессы распределения планктона в природных и лабораторных условиях.  

Модели  и методы анализа  пространственно-временных  структур.

Организация экологических и биохимических  систем позволяет произвести декомпозицию их математического моделирования на количественное описание кинетических процессов локального взаимодействия компонент и процессов переноса, перемещения компонент в пространстве. Математическим аппаратом исследования кинетических процессов в локальных (сосредоточенных) системах является теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Хорошо разработанные качественные и численные методы исследования позволяют изучать стационарные и колебательные режимы, множественные равновесия и другие динамические особенности.