Математические модели систем управления и методы оптимизации

Найдем значение функции по выражению (3.1) в точке :

 

Графическая интерпретация задачи представлена на рисунке 3.4.

Метод Куна-Таккера.

Метод предназначен для решения задачи, в которой функция является квадратичной, а все ограничения линейны.

Метод основан на использовании теоремы Куна-Таккера.

Функция Лагранжа имеет вид:

(3.3)

где  – неопределенные множители Лагранжа;

 – левые части ограничений задачи, приведенные к нулевой правой части.

Условия теоремы Куна-Таккера для задачи на поиск максимума:

(3.4)

Преобразуем ограничения задачи к виду с нулевой правой частью. При этом поскольку решается задача на поиск максимума, ограничения приводятся к знаку больше или равно:

 

Составим функцию Лагранжа для задачи:

(3.5)

Составим систему уравнений в соответствии с выражением (3.4):

(3.6)

Приведем ограничения задачи (3.6) к виду равенств, введя дополнительные переменные :

(3.7)

Для решения задачи линейного программирования (3.7) составим симплекс-таблицу.

Таблица 3.1 – Исходная симплекс-таблица

БП	Своб. члены	НП
			6
	0	6		9
	0	4		0	0
		2	9	0	0

Решения является допустимым, так как все свободные члены положительны.

Из симплекс таблицы 3.1 получим:

Параметрами координаты искомой точки являются только , поэтому оптимальный план решения задачи:

Искомая точка экстремума .

Решение задачи методом Куна-Таккера совпадает с решением методом Зойтендейка.

Метод линейных комбинаций.

В данном методе на каждом шаге в предыдущей точке нелинейная функция цели линеаризуется посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности данной точки, пренебрегая всеми степенями старше первой. Затем решается задача линейного программирования, её решение будет в некоторой вершине ОДЗП. После этого необходимо найти величину шага в направлении вершины и координаты следующей точки [2].

Линеаризованная функция имеет вид:

 

Здесь является постоянной величиной, поэтому не оказывает влияние на максимизацию. Тогда можно записать:

 

Решим задачу (3.2) с помощью метода линейных комбинаций.

Шаг 1.

Начальная точка: .

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

 

Составим для текущего шага:

 

Решим задачу линейного программирования:

 

Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее согласно правилам:

Таблица 3.2 – Первая итерация

БП	Своб. чл.	НП
	54	2
	0

Решение является допустимым, но не является оптимальным, поскольку в строке функции цели присутствует отрицательный коэффициент.

Выберем столбец, в котором функция цели имеет отрицательный коэффициент.

Для выбора строки с базисной переменной, которую необходимо сделать небазисной, найдем симплексные отношения. Ведущий элемент выделен полужирный шрифтом в таблице 3.2.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Таблица 3.3 – Вторая итерация

БП	Своб. чл.	НП
	54	6	1
	6
	24

Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов. Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.

Из симплекс-таблицы 3.3 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

Найденное решение .

Тогда координаты точки можно представить в виде:

 

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

 

Найдем величину шага . Для этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е. получим функцию зависящую от величины шага. Затем исследуем полученную функцию на экстремум:

 

 

 

 

Найденное входит интервал . Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

 

Шаг 2.

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

 

Составим для текущего шага:

 

Решим задачу линейного программирования:

 

Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее согласно правилам:

Таблица 3.4 – Исходная симплекс-таблица

Шаг 1.
БП	Своб. чл.	НП
	54	2
	0

Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов. Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.

Из симплекс-таблицы 3.4 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

Найденное решение .

Тогда координаты следующей точки можно представить в виде:

 

Найдем величину шага так же, как и на предыдущем шаге:

 

 

 

 

Найденное не входит интервал . Поэтому в качестве выберем правую границу интервала . Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

 

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

 

Вектор градиента направлен в вершине ОДЗП так, что не позволяет двигаться ни внутрь ОДЗП, ни по ее границам.

 

Графическая интерпретация решения задачи методом линейных комбинаций представлена на рисунке 3.5.

 

Решение методом линейных комбинаций совпадает с решением методом Зойтендейка и методом Куна-Таккера. 
Заключение

В первой части курсового проекта выполнен анализ линейной системы 3-го порядка, заданной в виде передаточной функции. Получены выражения для построения временных характеристик системы. По заданной передаточной функции были построены логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Правильность результатов построения подтверждена моделированием в пакете Matlab/Simulink.

Также на основании заданной передаточной функции были составлены уравнения состояния в нормальной и канонической формах. Получены схемы моделей системы и проведено моделирование в пакете Matlab/Simulink.

Во второй части курсового проекта решена прямая задача линейного программирования с применением симплекс-таблиц, составлена и решена двойственная задача к прямой. Решение прямой задачи и полученное решение при приведении в соответствие переменных двойственной и прямой задачи совпадает. Также решена частично-целочисленная задача.

В третьей части курсового проекта решены задачи нелинейного программирования без ограничений и с ограничениями. В решении задачи без ограничений показано, что методом Ньютона-Рафсона задача решается за один шаг, а метод наискорейшего спуска медленно сходится к решению. В задаче нелинейного программирования с ограничениями показано, что все методы решения задач одинаково сходятся к одному решению, но за разное количество шагов. Приведены графики интерпретации метода наискорейшего спуска, метода допустимых направлений Зойтендейка и метода линейных комбинаций. 
Список использованных источников

[1] Павлова, А. В. Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математические основы теории систем» для студентов специальности 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах [Электронный ресурс] / А. В. Павлова, М. К. Хаджинов. – Режим доступа: EUMK_MOTS_2013.zip.

[2] Павлова, А. В. Математические основы теории систем : конспект лекций для студентов специальности «Информационные технологии и управление в технических системах».  В 2 ч. / А. В. Павлова. – Минск : БГУИР, 2010. – Ч. 2. – 144 с.

[3] Певзнер, Л. Д. Математические основы теории систем / Л. Д. Певзнер, Е. П. Чураков – М. : Высш. шк., 2009.