Математические модели систем управления и методы оптимизации

Содержание

 

 

 

Введение

Методы оптимизации находят широкое применение в различных областях науки и техники. Эти методы успешно применяются в решении задач технического проектирования устройств и систем, организационно-экономических и других задач.

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, которые позволяют найти наилучший вариант из множества альтернатив и избежать при этом полного перебора и оценивания возможных решений. Знание методов оптимизации является необходимым для инженерной деятельности при создании новых, более эффективных и менее дорогостоящих систем, а также при разработке методов повышения качества функционирования существующих систем [2].

При постановке задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого будет выполняться оценке наилучшего варианта или условия. Такие критерии могут быть из разных областей науки, однако с математической точки зрения такие задачи сводятся к нахождению максимума (минимума) некоторой функции, соответствующего указанным требованиям.

Целью курсового проекта является построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование, а также изучение методов оптимизации задач линейного и нелинейного программирования.

Первый раздел посвящен анализу заданной с помощью передаточной функции системы. В этом разделе для этой функции построены переходные и логарифмические амплитудно- и фазочастотная характеристики, а также построены схемы модели в пространстве состояний в нормальной и канонической формах и решено уравнение состояния в канонической форме.

Второй раздел посвящен решению задач линейного программирования. В этом разделе приведено решение прямой задачи линейного программирования и соответствующей ей двойственной задачи, а также целочисленной задачи с помощью симплекс-таблиц.

Третий раздел посвящен решению задач нелинейного программирования. В этом разделе приведено решение такой задачи без ограничений методами Ньютона-Рафсона и наискорейшего спуска, а также с ограничениями методами допустимых направлений Зойтендейка, Куна-Таккера и линейных комбинаций. Результаты решения различными методами сравнены между собой. 
1 Исследование систем управления

1.1 Вычисление и построение в Matlab временных характеристик систем

Передаточная функция системы – отношение изображения выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция имеет вид:

(1.1)

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции и имеет вид:

. (1.2)

Найдем корни характеристического уравнения:

 

.

 

 

. (1.3)

Передаточная функция в форме нулей и полюсов имеет вид:

(1.4)

Импульсная переходная характеристика – процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход -функции.

Определим как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

. (1.5)

Разложим передаточную функцию (1.4) на сумму простых слагаемых:

 

 

(1.6)

Найдем коэффициенты по методу неопределенных коэффициентов:

 

 

 

 

 

Передаточная функция примет вид:

(1.7)

В соответствии с формулой (1.5), таблицами преобразования Лапласа, найдем импульсную переходную характеристику:

. (1.8)

Вид импульсной переходной характеристики, построенный в пакете Matlab, представлен на рисунке 1.1.

Переходная характеристика – процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.

 

 

 

 

Для получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему интегратором:

(1.9)

С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты :

 

 

 

 

 

Тогда выражение примет вид:

(1.10)

Определим как обратное преобразование Лапласа от :

. (1.11)

(1.12)

Вид переходной характеристики построенный в пакете Matlab представлен на рисунке 1.2.

Система при воздействии на нее импульсного сигнала со временем возвращается в исходное состояние. При воздействии ступенчатого сигнала со временем система приходит в однозначное состояние. Следовательно, заданная по условию система является устойчивой [1].

1.2 Построение асимптотических логарифмических частотных характеристик

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты [1].

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

 

 

(1.13)

Передаточная функция представляет собой произведение трех апериодических звеньев и одного форсирующего звена.

  (1.14)

Найдем сопрягающие частоты звеньев и коэффициент усиления:

(1.15)

. (1.16)

Фазочастотная характеристика примет вид:

(1.17)

Используя найденные значения коэффициента усиления и сопрягающих частот, построим графики ЛАЧХ и ФЧХ. Графики ЛАЧХ и ФЧХ представлен на рисунке 1.3 и рисунки 1.4. Графики ЛАЧХ и ФЧХ, построенные в пакете Matlab представлены на рисунке 1.5.

Построенные вручную характеристики подобны построенным в пакете Matlab.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Линейное программирование

2.1  Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели

К задачам линейного программирования относятся задачи нахождения условного экстремума функции нескольких переменных, при условии, что функция и ограничения линейны [2].

Общий вид задачи линейного программирования на поиск максимума:

 

где   – матрица из коэффициентов при переменных ограничений;

 – вектор-столбец свободных членов в ограничениях;

 – вектор-строка коэффициентов при переменных функции цели.

 

Условие задачи:

(2.1)

Решим задачу (2.1) с помощью симплекс-метода.

Поскольку предстоит решить задачу на нахождение максимума функции цели, то все исходные ограничения должны иметь знак меньше или равно. Для этого все ограничения системы (2.1) со знаком «» умножим на :

(2.2)

Введем в систему (2.2) дополнительные переменные для ограничений вида неравенств, чтобы преобразовать их в равенства. Для ограничения вида равенства воспользуемся методом искусственного базиса и введем искусственную переменную :

(2.3)

В связи с вводом искусственных переменных функция цели примет вид:

, (2.4)

где – коэффициент штрафа за введение искусственных переменных.

 

Выразим из ограничения системы:

, 

и подставим в выражение (2.4):

(2.5)

При составлении первой симплекс-таблицы будем полагать, что исходные переменные являются небазисными, а введенные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в - и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в обычном симплекс-методе [2].

Шаг 1. Составим начальную симплекс таблицу:

Таблица 2.1 – Первая итерация

БП	Своб. члены	НП

Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены, которые меньше нуля.

Шаг 2. Выберем строку , в которой свободный член меньше нуля, и выберем в ней максимальный по абсолютному значению отрицательный элемент, который станет ведущим. Строка будет исключена из базиса, а столбец будет включен в базис.

Максимальный по абсолютному значению элемент строки соответствует столбцу . Столбец будет исключен из базиса. Ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.1.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются.

Таблица 2.2 – Вторая итерация

БП	Своб. члены	НП

Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов. Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.

Из симплекс таблицы 2.2 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

(2.6)

Экстремальное значение функции (2.1) примет значение:

 

2.2 Исследование двойственной задачи линейного программирования

Предположим, что у нас есть прямая задача вида:

 

Тогда двойственной задачей к этой прямой задаче будет задача вида:

(2.7)

Составим двойственную задачу для задачи (2.1):

 

 

 

(2.8)

Преобразуем ограничения неравенств в равенства:

(2.9)

Поскольку введенные в систему дополнительные переменные записаны со знаком минус, то в симплекс-таблицу коэффициенты ограничений войдут с противоположными знаками [2].

Составим симплекс таблицу, используя выражения (2.8) и (2.9):

Таблица 2.3 – Первая итерация

БП	Своб. члены	НП
	4	4	1	–4	–1
	–2	5	4	3	1
	1	2	0	–6	–5
	0	–33	–15	21	15

Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены меньше нуля.

Поскольку в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то нельзя выбрать ведущий элемент в этой строке. Поскольку на переменную не наложено ограничение на знак, то выведем из базиса , а в базис введем [3]. Выбранный ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.3.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Таблица 2.4 – Вторая итерация

БП	Своб. члены	НП