Математические методы исследования экономики (системы массового обслуживания)

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

Кафедра "Высшей математики"  
 
 

Расчётно-графическая  работа по теме:

Математические  методы исследования экономики.

(системы  массового обслуживания)   
 
 
 
 

Выполнила: ХХХХХХХХ.                                      Проверил: ХХХХХХ                                                                                         Дата

Студент групп ХХХХ                                         Оценка:

                              
   
 
 
 
 

    Данная  работа представляет собой анализ системы  массового обслуживания. В ней  проводится расчёт основных показателей  СМО, которые непосредственно влияют на её работу.

    Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).

    При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Информация о рассматриваемой  системе массового  обслуживания (СМО). 
 
 

    Наименование  организации:

    Род деятельности: продуктовый магазин

    Место расположения:

    Время работы: с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных 
 

    Необходимые данные для анализа системы: 

         Рассматриваемый промежуток времени:

         Рассматриваемое количество обслуживающих  приборов:

                                 2

         Рассматриваемые дни:

       дни с понедельника по воскресенье включительно.

         Рассматриваемый промежуток времени:

                                 17.00 – 19.00

            (период наибольшей загруженности  системы) 
 

         Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     X₁, X₂, …, X_n – число поступивших клиентов в единицу времени.

     Y₁, Y₂, …, Y_n – количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.

 

     Проверив  данные выборки на подтверждение  гипотезы о том, что они из распределения  Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.  
 

    Согласно  проверенным выше гипотезам, мы описываем  систему массового обслуживания вида: 

    <М│М│2> (с очередью). 

где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);

│М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);

│2>  – число приборов в системе;

(с очередью) – дисциплина обслуживания. 
 
 

    λ_к = λ

    

    μ_к =

    λ_к = 6,6

    

    μ_к =  
 
 

    

      

      
 

    

      
 

    

      
 
 
 
 
 

      
 
 
 

Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.  

Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками:

 

                                     

     

     Где λ_k – интенсивность поступления клиентов:

      - среднее число клиентов, поступивших  в систему, когда система находится  в состоянии k в единицу времени. 

            µ_k – интенсивность обслуживания клиентов:

      - характеризует среднее число  обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени. 

     Следовательно: 

      - интенсивность поступления  клиентов в систему. 

      - интенсивность обслуживания  клиентов.

     Определим основные характеристики системы:

     Определим коэффициент загруженности системы :

      , следовательно, условие стационарности выполняется, так как  

В условиях существования  стационарного режима

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

S = 3.3

- доля времени простоя

              (1.29^k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2

P_k=        (1.29^k/ 2*2^k-2) * 0.23, к > 2 

- вероятность  того, что в системе k клиентов 

Р_з = р^m / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,29²/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545 

- вероятность,  что все приборы заняты 

 E_q = Р_з / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени, 

 т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди 

_{Ev = Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.}

т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе 

_{Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51}  - среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут). 

     Для того чтобы  система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: 

     P₀ ≤ 0,1

     Для рассматриваемой системы P₀ = 0,23  >  0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.

     Следующее условие, которое должно выполняться: 

     

  , 

     То есть должно выполняться:   E_q ≤ 0,392, а в нашем случае   Eq = 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется. 

     Рассчитаем  значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.

      ; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02]

     Прежде  чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство 

     µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)

       и посмотрим пересечение интервалов  значения  , при фиксированном значении . Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.

     Теперь  рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02. 

     _{р = 6,6/4,02 = 1,64} 

   S = 15.1 

_{P0 = 1/1+S = 0.061 доля времени простоя}  

               (1.64^k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2

P_k=        (1.64^k/ 2*2^k-2) * 0.061, к > 2 

- вероятность  того, что в системе k клиентов 

Р_з = р^m / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,64²/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46 
 

- вероятность,  что все приборы заняты 

E_q = Р_з / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени

 т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди 

_{Ev = Eq +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.}  

т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе 

_{Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75}   

- среднее число клиентов в системе.

Теперь поставленные условия выполняются:

     P₀ ≤ 0,1 ( Р₀ = 0,061)

      ( E_q =0,32< 2/4,02; E_q = 0,32<0,497

_{Уменьшение  интенсивности обслуживания клиентов приводит к  увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.}

Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.