Математические методы Адамса

Для автоматизации вычислений используем математический пакет Mathcad 13.

Задаем начальные условия: , а далее по формулам вычисляем значения y. Листинг программы для определения первых значений функции методом Рунге-Кутта приведен в приложении 1.

В результате получаем вектор значений:

, .

После этого запрограммируем метод  Адамса в виде отдельной функции. Будем рассматривать промежуток от 0 до 1 (т. е. 10 значений с шагом 0.1). Листинг программы для решения уравнения методом Адамса приведен в приложении 2.

На рисунке 1 показан график решения  и точное решение уравнения на данном участке. Из графика видно, что  результаты численного решения соответствуют результату аналитического решения.

Рисунок 1 – Результаты решения  уравнения методом Адамса (символ «о») и аналитическое решение  уравнения (пунктирная линия)

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены  многошаговы методы решения дифференциальных уравнений. Особое внимание было уделено методу Адамса и методу прогноза и коррекций.

К недостаткам многошаговых методов  относится также и невозможность  изменения в процессе решения  величины шага (так как они используют предыдущие точки с ранее применяемым шагом, а учет меняющегося шага очень сложен и громоздок), это бывает необходимо для повышения эффективности метода. Величина шага существенно влияет на точность и скорость решения, поэтому изменение ее в процессе решения – увеличение при медленно изменяющемся решении и уменьшение при быстро изменяющемся – очень важно для эффективности решения. К достоинствам многошаговых методов относят в основном меньший объем памяти компьютера, требующейся для реализации, и возможность теоретической оценки погрешности решения.

В практической части курсовой работы методом Адамса было решено дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши). Сравнение полученного  решения с аналитическим решением дифференциального уравнение подтвердило правильность полученного решения.

Список литературы

1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений».
2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. “Численные методы в задачах и упражнениях”. М.: Высшая школа, 2000.
3. Вержбицкий В.М. «Численный методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения)». Москва «Высшая школа», 2001.
4. Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособ. Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 2010. 100 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. «Численные методы».М.: Наука, 1989.

Приложение 1

Листинг программы нахождения первых четырех корней уравнения методом  Рунге-Кутта 

Приложение 2

Листинг программы решения дифференциального  уравнения методом Адамса 4-го порядка