Магические квадраты

          Шестерок нет – этим людям  необходим физический труд, хотя  они его, как правило, не  любят. Они наделены неординарным  воображением, фантазией, художественным  вкусом. Тонкие натуры,    они тем не менее способны на поступок.

          6 – могут заниматься творчеством  или точными науками, но физический  труд является обязательным условием  существования. 

          66 – люди очень заземлены, тянутся  к физическому труду, хотя как  раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность  либо занятия искусством.

          666 – знак Сатаны, особый и зловещий  знак. Эти люди обладают повышенным  темпераментом, обаятельны, неизменно  становятся в обществе центром  внимания.

          6666 – эти люди в своих предыдущих  воплощениях набрали слишком  много заземленности, они очень много трудились и не представляют  свою  жизнь без труда.   Если   в их   квадрате   есть

девятки, им обязательно  нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

          Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

          7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

          77 – очень одаренные, музыкальные  люди, обладают тонким художественным  вкусом, могут иметь склонность  к изобразительному искусству. 

          777 – эти люди, как правило,  приходят на Землю ненадолго.        Они добры, безмятежны, болезненно  воспринимают любую несправедливость.  Они чувствительны, любят мечтать,  не всегда чувствуют реальность.

          7777 – знак Ангела. Люди с таким  знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни  постоянно угрожает опасность. 

          Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

          Восьмерок нет – у этих людей  почти полностью отсутствует  чувство долга. 

          8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

          88 – у этих людей развитое  чувство долга, их всегда отличает  желание помочь другим, особенно  слабым, больным, одиноким.

          888 – знак великого долга, знак  служения народу. Правитель с  тремя восьмерками добивается  выдающихся результатов. 

          8888 – эти люди обладают парапсихологическими  способностями и исключительной  восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные  пути.

          Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

          9 – эти люди должны всю жизнь  упорно трудиться, чтобы восполнить  недостаток ума. 

          99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому  что знания даются им легко.  Они  наделены чувством юмора  с ироничным оттенком, независимые. 

          999 – очень умны. К учению вообще  не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники. 

          9999 – этим людям открывается  истина. Если у них к тому  же развита интуиция, то они  гарантированы от провала в  любом из своих   начинаний.   При   всем   этом   они,   как правило,   довольно 

приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

          Итак, составив магический квадрат  Пифагора и зная значение всех  комбинаций цифр, входящих в его  ячейки, вы сможете в достаточной  мере оценить те качества вашей  натуры, которыми наделила матушка  – природа. 

                      

ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ. 

 

          Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

          Латинским квадратом называется  квадрат n n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4 4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу

 

  

отыскания ортогональных латинских квадратов  впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников,   майоров,   капитанов,    поручиков   и   подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”

           Эйлер не смог найти решения  этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не сушествует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6  6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости  гипотезы  Эйлера.  Однако  в 1959 г. помощью ЭВМ  были  найдены сначала ортогональные квадраты 10 10, потом 14 14, 18 18, 22 22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты n n.

          Магические и латинские квадраты  – близкие родственники. Пусть  мы имеем два ортогональных  квадрата. Заполним клетки нового  квадрата тех же размеров следующим  образом. Поставим туда число  n(a – 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

          Теория латинских квадратов нашла  многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:

первая –  количество килограммов удобрения  первого вида, вносимого   на   этот   участок,   а   вторая   –  количество  вносимого

удобрения второго  вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты  посева, так и других компонентов:  сорта и удобрений  первого  вида,

удобрений первого  и второго видов, густоты и  удобрений второго вида. 

 

 

  

          Использование ортогональных латинских  квадратов помогает учесть все  возможные варианты в экспериментах  в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.          

 

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ  

 

          В настоящем реферате рассмотрены  вопросы, связанные с историей  развития одного из вопросов  математики, занимавшего умы очень  многих великих людей, - магических  квадратов. Несмотря на то, что  собственно магические квадраты  не нашли широкого применения  в науке и технике, они подвигли  на занятия математикой множество  незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

          Ближайшие родственники магических  квадратов – латинские квадраты  нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.

          В реферате также рассмотрен  вопрос о квадрате Пифагора, представляющем  исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического  портрета личности.   

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  

 

1.              Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.

2.              М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3.              Физкультура и спорт № 10, 1998г.