Введение

     В настоящее время оптимизация  находит применение в науке, технике  и в любой другой области деятельности человека.

     Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. [1]

     Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации. Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно.

     Основная  задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции. В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот – любой метод может применяться для решения многих задач.

     Линейное  программирование – это раздел математики, занимающийся решением таких задач на отыскание наибольших и наименьших значений, для которых методы математического анализа оказываются непригодными. Другими словами термин «линейное программирование» характеризует определение программы (плана) работы конкретного экономического объекта на основе выявления линейных связей между его элементами. Задачей линейного программирования является нахождение оптимального, т. е. наилучшего, плана при заданной системе налагаемых на решение ограничений.

       Первые постановки задач линейного  программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, который в 1975 г. получил Нобелевскую премию ”за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов”

      В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов.

    В практической деятельности организациям бизнеса часто приходится решать задачи, связанные  с распределением ресурсов (труда, сырья, капитала и т.д.). Обычно  размеры ресурсов ограничены, поэтому возникает необходимость оптимального использования ресурсов для достижения определенной цели управления. Подобные задачи являются одношаговыми задачами оптимального управления (оптимизации). Методы решения таких задач получили название математического программирования. Простейшим случаем математического программирования является линейное программирование. При постановке задачи линейного программирования необходимо ответить на 3 вопроса:

1. Какие переменные вводятся в рассмотрение? Значения этих переменных нужно получить в результате решения задачи.
2. Установить цели и выразить целевую функцию через переменные.
3. Установить ограничения на ресурсы и представить их через переменную.

     Глава 1. Линейное программирование как основное направление в области оптимизации деятельности предприятия

     1.1 Теоретико-методическое описание метода линейного программирования

     Линейное  программирование – это наука  о методах исследования и отыскания  наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.[13]

     Особенностью  задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

     Линейное  программирование представляет собой  наиболее часто используемый метод  оптимизации. К числу задач линейного  программирования можно отнести задачи:

1. рационального использования сырья и материалов;
2. задачи оптимального раскроя;
3. оптимизации производственной программы предприятий;
4. оптимального размещения и концентрации производства;
5. составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);
6. управления производственными запасами;
7. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

     Линейное  программирование является одной из основных частей того раздела современной  математики, который получил название математического программирования. В общей постановке, задачи этого раздела выглядят следующим образом.

     Требуется найти такие неотрицательные  , которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции (формула 1.1), которые удовлетворяют системе ограничений (формула 1.2) и не противоречат условиям неотрицательности: . 

      (1.1)

     

      (1.2)

     … … … … … … … … …  …

       

     В зависимости от вида функции  различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что функция является линейной функцией переменных . [4]

     Формы задач линейного программирования:

     1. стандартная;

     1.1 первая стандартная форма (формула  1.3);

     1.2 вторая стандартная форма (формула  1.4);

     2. каноническая (формула 1.5). 

     

     

      (1.3) 

     … … … … … … … … …  …

     

      . 

     

     

      (1.4)

     … … … … … … … … … …

     

      . 

     

     

      (1.5)

     … … … … … … … … …

     

      . 

     Задачу  на минимум (формула 1.6) можно решать как задачу на максимум. Достаточно знаки целевой функции поменять на противоположные (формула 1.7). В результате необходимо знак целевой функции поменять на противоположный. 

      (1.6)

      (1.7) 

     Аналогично  можно сменить знак неравенства  меньше или равно (формула 1.8) на больше или равно (формула 1.9). 

      (1.8)

      (1.9) 

     Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремума (минимума или максимума) в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин (альтернативный оптимум).

     Эта теорема имеет важнейшие значение, так как она указывает путь решения задачи линейного программирования. Совсем не надо перебирать все точки допустимой области. Достаточно перебрать вершины допустимой области, а ведь их конечное число. Кроме того, не нужно перебирать все вершины, можно этот перебор существенно сократить.

     Любой набор чисел  , удовлетворяющий ограничениям задачи, называют планом, а множество всех планов допустимой областью. Тот план, который доставляет экстремум (минимум или максимум) целевой функции, называют оптимальным планом или просто решением задачи линейного программирования.  

     1.2 Методы решения  ЗЛП

     Задачи  линейного программирования решаются несколькими методами:

     1. графический метод;

     2. симплексный метод;

     3. двойственный симплексный метод. 

     Задачи  линейного программирования с двумя  переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность  которых больше трех, графическое решение невозможно.

     Графический метод довольно прост и нагляден. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений задачи. Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлен выпуклым многоугольником, неограниченным выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом и т.д. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

     При поиске оптимального решения задач  линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи, существует бесконечное  множество решений (альтернативный оптимум); область допустимых решений– единственная точка; задача не имеет решений.

     Любая задача линейного программирования, независимо от вида записи, может быть приведена к стандартной и канонической форме и решена симплексным методом, который в определенном смысле является универсальным методом ЛП. Алгоритм симплекс-метода носит итерационный характер.[8]

     Симплекс-метод  позволяет переходить от одного допустимого  базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. Алгоритмы симплекс-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой.

     Переход от одного базиса к другому позволяет  находить решения почти всех задач ЛП. Определив все крайние точки, можно вычислить значения целевой функции и найти оптимальное решение. Однако для больших значений m и n это практически невозможно.

     Алгоритм  решения задачи ЛП табличным симплексом-методом  состоит из следующих этапов:

     1. рассчитывают и заполняют начальную  симплекс-таблицу с допустимым  единичным базисом, включая индексную строку.

     2. находят разрешающий столбец;

     3. находят разрешающую строку;

     4. рассчитывают методом Жордано-Гаусса  все параметры матрицы;

     5. анализируют полученные данные  в индексной строке.

     Таблицы симплекс-метода необходимо строить  до тех пор, пока не будет получен оптимальный план. План будет считаться оптимальным, если в последней индексной строке симплекс-таблицы будут только нули и положительные числа.

     При построении симплексного метода предполагалось, что все опорные планы невырожденные, что обеспечивало получение оптимального плана за конечное количество шагов. В случае вырожденного плана вычисления производят аналогично, но в этом случае возможен возврат к старому базису, что приводи к так называемому зацикливанию.

     Метод искусственного базиса применяется при наличии в ограничении знаков “равно”, “больше либо равно”, “меньше либо равно” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m, а в задачи минимизации - с положительными m. Таким образом, из исходной получается новая m - задача.