Лекции по математике

1. Что такое вектор?
2. Перечислите операции над векторами.
3. Что такое длина вектора? Как она вычисляется?
4. Как вычислить угол меду векторами?
5. Что называется скалярным произведением векторов?

2.2. Уравнение прямой.

Вопросы:

2.2.1 Декартова прямоугольная система координат;

2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости. Формула координат середины отрезка;

2.2.3. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

2.2.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

2.2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;

2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;

2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности. 

2.2.1. Декартова прямоугольная система координат

     Определение 1. Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).

Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.

Определение 2. Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными, такое, что только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению.

2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости

     Даны две точки на плоскости с координатами A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂).

            Y         

        y₂        B      

        y₁    A      C        

               0        x₁  x₂     X   

Из треугольника ABC:

.

      , - формулы для нахождения координат середины отрезка. 

2.2.3. Общее уравнение прямой 

      Теорема 1. Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости некоторую прямую, и наоборот.

Аx+Вy+С=0 - общее уравнение прямой,

- условие невырожденности.

     Рассмотрим различные случаи расположения прямой на плоскости в зависимости от коэффициентов общего уравнения.

1) 1)  С = 0, Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

      А = 0,  By + C = 0 - прямая проходит параллельно оси ОХ;

      В = 0,  Ax + C = 0   - прямая проходит параллельно оси ОУ;

2) 2)  A = C = 0, By = 0  - прямая совпадает с осью ОХ;

      B = C = 0, Ax = 0  - прямая совпадает с осью ОУ.

Расстояние от точки M₀ (x₀,y₀) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле

.

2.2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 

Предположим, что прямая расположена под углом j к оси ОХ и отсекает от оси ОУ отрезок в b единиц. Составим уравнение этой прямой.     
 
 
 
 
 

     Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Из рисунка видно: AM = AN + NM, где AM = y, AN = b. Из треугольника BMN: MN = BN · tg j. Обозначим tg j = k и назовем его угловым коэффициентом прямой. MN = k · x. Подставляя в равенство   AM = AN + NM   выражения отрезков  AM = y, AN = b, MN = k · x;  получим  y = k · x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом. 

2.2.5. Уравнение прямой, проходящей

     через данную точку в данном направлении

Предположим, что прямая проходит через точку M₁ (x₁,y₁) и образует с осью OX

угол j. Составим уравнение этой прямой.   
 

      Y

                  y   M(x,y)   
 

          у₁    M₁ (x₁,y₁)   N   

                               j  

                               0                    х1                х         Х

                                              Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: y = k · x + b. Угловой коэффициент прямой можно найти, зная угол наклона k = tg j. Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Так как точки М и M₁ лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой:  y = k · x + b,   y₁ = k · x₁ + b.  Вычитая эти равенства, получим:

y - y₁ = k · (x - x₁) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. 

2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Даны две точки M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂). Составим уравнение прямой, проходящей через две эти точки,

- угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.

     Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку M₁ и в данном направлении :

получим

- уравнение прямой, проходящей через две данные точки. 

2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности прямых

Определение 1. Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.

                                II      

                                  I        

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k₁ · x + b₁,   y = k₂ · x + b₂.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых φ1 и φ2. Тогда

k₁ = tgφ1, k₂ = tgφ2.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX.   
 
 
 
 
 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

1. Предположим, что прямые параллельны:

a = 0  ?  tg a = 0   ? 

k₁ = k₂ - условие параллельности прямых.

2. Предположим, что прямые перпендикулярны:

a = 90⁰ ? tg a не существует ? ctg a = 0 ?

? k₁ · k₂ = -1 - условие перпендикулярности прямых

Вопросы для самопроверки.

1. Как выглядит общее уравнение прямой7 Опишите частные случаи этого уравнения.

2. Условие параллельности прямых.

3. Условие перпендикулярности прямых.

4. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через данные точки. 

Резюме.

Раздел 2 включает элементы аналитической геометрии, необходимых для решения неравенств с двумя переменными.

Перечень терминов, определений

Вектор. Координаты вектора. Действия над векторами. Длина вектора. Угол между векторами. Уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Пересечение двух прямых. Параллельность и перпендикулярность прямых. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.