Лекции по математике

       Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A).

       Очевидно, что .

       Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).

       Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

       Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

       При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.

       Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица

       А= .

       Предположим, что а₁₁ отличен от нуля (если а₁₁=0, то, переставив строки, этого можно добиться). Разделим первую строку на а₁₁, после чего на первом месте в первой строке будет стоять 1. Умножая последовательно первую строку на а₂₁, а_31, …, а_m1 и вычитая, соответственно, из второй, третьей, …, n-й, образуем в первом столбце все нулевые элементы.

       А~ .

       Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а'₂₂. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а'₂₂=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а'₂₂. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а'₂₂ не окажется ненулевой элемент. После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу.                        А=  

       Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице

       А~ .

       Буквой "а" условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения. Очевидно, что r(A)=m1, так как минор, расположенный в первых m1 строках и первых m1 столбцах, равен единице

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте понятие матрицы.

2. Перечислите линейные операции над матрицами.

3. Что представляет собой операция «транспонирование матрицы»?

4. Дайте понятие «ранг матрицы»

5. Что такое «определитель матрицы»?

6. Перечислите основные свойства определителя.

7. Что такое обратная матрица? 

1.2. Решение систем линейных уравнений.(СЛУ)

Вопросы:

      1.2.1.Определение СЛУ;

      1.2.2.Матричная форма записи системы;

      1.2.3.  Решение СЛУ с помощью формул Крамера;

1.2.4.Решение СЛУ методом Гаусса;

1.2.1. Системы линейных уравнений 

Определение 1. Система вида

       

       называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x₁, x₂, …, x_n - неизвестные, a_ij, i= , j= - коэффициенты при неизвестных, b₁, b₂, …, b_m - свободные члены.

       Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

       Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

       Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

       Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.

       При изучении систем исследуют три вопроса:

1. совместна система или нет;
2. если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;
3. нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

 

1.2.2. Матричная форма записи системы 

Пусть дана система

       

Рассмотрим матрицы

        , , .  

       С помощью этих матриц систему можно записать в виде .

        ,

        .

1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

       

       Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

        , где - главный определитель, - j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

    Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

   Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1. умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2. прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3. перестановка двух уравнений;
4. отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример.

  .

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице.  Составим расширенную матрицу:

Получено решение системы   х (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения  СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.

Перечислите этапы  метода Гаусса.

Резюме к разделу 1. 

Изучение  раздела 1 формирует у обучающихся умения  по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак

Перечень терминов, определений.

     Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

2.1. Векторы;

Вопросы:

2.1.1. Линейное векторное пространства;

2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами. 

2.1.1. Линейное векторное пространство.

     Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а₁, а₂, …, а_n) называется n-мерным вектором ā(а₁, а₂, …, а_n). Числа а₁, а₂, ..., а_n называются координатами вектора.

     Два n-мерных вектора (а₁, а₂, …, а_n) и (b₁, b₂, …, b_n) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

, ( ).

     Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается .

Пример. (3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.

     Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов (а₁, а₂, …, а_n) и (b₁, b₂, …, b_n) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

=(a₁ b₁; a₂ b₂; …; a_n b_n).

     Определение 3. Произведением n-мерного вектора (а₁, а₂, …, а_n) на число k называется n-мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора на число k:         k · =(ka₁; ka₂; …; ka_n).

Свойства операций над векторами:

1) + = +    - коммутативность,

2) +( + )=( + )+   - ассоциативность,

3) k·( )=k· k·   - дистрибутивность,

4) (k₁ k₂)· = k_{1 ·} k₂· ,

5) (k₁·k₂)· =k₁·(k₂· ),

6) 1· = ,

7) 0· = ,

8) k· = ,

     Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается Eⁿ.

     Пример. E² - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.

2.1.2.  Скалярное произведение.

     Длина вектора. Угол между векторами. 

     Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов (а₁, а₂, ..., а_n) и (b₁, b₂, ..., b_n) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

· =а₁·b₁+a₂·b₂+…+a_n·b_n.

     Свойства скалярного произведения:

1. · = ·    - коммутативность;

2. ·( + )= · + ·  - дистрибутивность;

3. k·( · )=(k· )· ,

4. · = ² , ²=0 .

     Определение 2. Длиной n-мерного вектора называется величина:

.

     Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле

.

Вопросы для самопроверки.