Лабораторная работа в Maple

A1:=concat(b,delcols(A,1..1));

> A2:=concat(concat(delcols(A,2..3),b),delcols(A,1..2));

> A3:=concat(delcols(A,3..3),b);

> x1:=det(A1)/det(A);

> x2:=det(A2)/det(A);

> x3:=det(A3)/det(A);

 

> restart;

> with(linalg): 

Задача 7. Для системы АХ=0:

1) Найти ранг  матрицы А.

> A:=matrix(3,4,[3,2,5,2,4,6,1,2,-1,-2,-3,0]);

> b:=matrix(3,1,[0,0,0]);

> rank(A);

2) Найти решение  системы:

x:=linsolve(A,b);

3) Найти базис   в пространстве решений системы,  ортогонализовать его, ортонормировать.

V:=vector(4,[-10,7/2,-1,9]); 

> normalize(V);

Задача 8.   Для системы АХ=В

1) Найти ранг  матрицы А.

A:=matrix(3,4,[3,2,5,2,4,6,1,2,-1,-2,-3,0]);

> b:=matrix(3,1,[-2,-4,-4]);

> rank(A);

2) Найти ранг  расширенной матрицы А.

rank(concat(A,b));

3) Найти решение  системы.

linsolve(A,b);

Задача 9. Для системы АХ=В:

1) Найти ранг  матрицы А.

A:=matrix(3,3,[3,5,-1,0,4,5,2,0,1]);

> b:=matrix(3,1,[-1,4,-1]);

> rank(A);

2) Найти ранг  расширенной матрицы

rank(concat(A,b));

3) Найти число  обусловленности матрицы А.

X:=vector([x,y,z]);

> g:=evalm(transpose(X)&*X);

> F:=evalm(X&*A);

> f:=evalm(transpose(F)&*F);

> Max[A]:=simplify(maximize(f/g));

Error, (in maximize) invalid input: minimize/continuous expects its 2nd argument, yFP, to be of type {name, list(name)}, but received _t[1][1] = -infinity 

> Min[A]:=simplify(minimize(f/g));

Error, (in minimize/cell/function/multidependence/univariate) invalid input: minimize/continuous expects its 2nd argument, yFP, to be of type {name, list(name)}, but received _t[1][1] = -infinity 

> mu:=simplify(sqrt(Max[A]/Min[A]));

Задача 10. Для системы АХ=В

1) найти ранг  матрицы А

2) найти ранг  расширенной матрицы А

3) записать нормальную  систему

4) найти решение  нормальной системы

5) найти псевдорешение исходной системы

A:=matrix(3,4,[1,3,5,-1,2,-1,-3,4,5,1,-1,7]);

> b:=matrix(3,1,[-2,-2,4]);

> rank(A);

> rank(concat(A,b));

> X:=matrix(4,1,[x1,x2,x3,x4]);

> evalm(transpose(A)&*A&*X)=evalm(transpose(A)&*b);

> F:=linsolve(evalm(transpose(A)&*A),evalm(transpose(A)&*b));

 

> K:=evalm(transpose(F)&*F); 

> minimize(K,location);

> R:=linsolve(A,b);

> C:=-infinity;

> R:=matrix(4,1,[-5*C,C,7/2*C,5/2*C]);

 

Задача 11.  Для матрицы :

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix(3,3,[11,2,-8,2,2,10,-8,10,5]);

1) написать характеристический многочлен,

 charpoly(A,x);

2) найти собственные значения,

 eigenvals(A);

3) найти собственные  значения и собственные векторы,

eigenvects(A);

4) из собственных  векторов, размещая их в качестве  столбцов, составить матрицу 

 T:=matrix(3,3,[2,-2,1/2,2,1,-1,1,2,1]);

5) вычислить матрицу  , убедиться, что получится диагональная матрица , диагональ которой составлена из собственных значений,

 d:=simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));

6) привести  к диагональному виду при помощи команды Jordan

jordan(A);

7) вычислить матрицы  и ,

 edt:=exponential(d,t);

> eAt:=simplify(exponential(A,t));

8) вычислить матрицу , убедиться, что она совпадает с матрицей

 simplify(evalm(T&*edt&*inverse(T)));

9) вычислить матрицу , убедиться, что она совпадает с матрицей .

 simplify(evalm(inverse(T)&*eAt&*T));

 
 
 
 

Задача 12.   Для  матрицы  :

1) найти ее собственные векторы и собственные значения,

 

eigenvects(A);

2) найти ее Жорданову форму и матрицу перехода

B:=jordan(A,'T');

print(T);

3) проверить равенство . 

 simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));

Задача 13.   Для  симметричной матрицы  :

with(linalg):

> A:=matrix(3,3,[2,1,2,3,2,0,1,0,2]);

> X:=vector(3,[x,y,z]);

1) записать квадратичную форму

evalm(transpose(X)&*A&*X);

2) найти собственные значения и собственные векторы

eigenvects(A);

3) ортогонализовать и нормировать собственные векторы и из них составить матрицу перехода ,

v1:=vector(3,[0, -2, 1]);

> v2:=vector(3,[1/3*5^(1/2),1,1/3]);

> v3:=vector(3,[-1/3*5^(1/2),1,1/3]);

> simplify(GramSchmidt({v3,v2,v1}));

> T:=matrix(3,3,[0,-1/3*5^(1/2),1/3*5^(1/2),-2,1/3,1/3,1,2/3,2/3]);

 

4) вычислить матрицу

B:=simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));

5) записать квадратичную  форму  ,

> Y:=matrix(3,1,[x,y,z]);

> simplify(evalm(transpose(Y)&*B&*Y));

6) проверить положительную  и отрицательную определенность  матрицы  .

> definite(A,'positive_def');

> definite(A,'negative_def');

Задача 14.   Для двух подпространств и

1. найти базис их суммы, ортогонализовать его,

a1:=vector(4,[0,2,-1,1]);

a2:=vector(4,[-3,2,1,3]);

a3:=vector(4,[-1,2,-3,0]);

b1:=vector(4,[0,-2,0,3]);

b2:=vector(4,[1,0,1,-2]);

b3:=vector(4,[3,1,2,-4]);

> sumbazis(a1,a2,a3,b1,b2,b3);