Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Октября 2009 в 20:00, Не определен
Курсовая работа
Например, квадратичная форма f (x1,x2…,xn) = 6x21+4x23 – 3x24, для которой a11 =6, a22=0, a33 = 4, a44= -3, имеет канонический вид; квадратная форма f (x1, x2, x3, x4) = x21 - - x23 + x24является нормальной, так как a11 =1, a22=0, a33 = - 1, a44= 1.
Теорема 2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду
, где y1, y2….yn – новые переменные.
Некоторые из коэффициентов bij могут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу r матрицы квадратичной формы φ. Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27 . Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение: ;
(27 - l)(3 - l) – 25 = 0
l2 - 30l + 56 = 0
l1 = 2; l2 = 28;
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: 17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0. Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А = . Составим характеристическое уравнение:
(17 - l)(8 - l) - 36 = 0
136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0
l2 - 25l + 100 = 0 l1 = 5, l2 = 20.
Итого: - каноническое уравнение эллипса.
Пример 3. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение:
Составим характеристическое
Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
полагая m1 = 1, получим n1 =
полагая m2 = 1, получим n2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем
следующее уравнение линии в
новой системе координат:
Каноническое
уравнение линии в новой
Закон инерции квадратичных форм выражает:
Теорема 4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.
Число
положительных квадратов в
Теорема 5. Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.
Пусть k(x) = 3x12 − 2x2x1+ 3x22— квадратичная форма в пространствеR2. И пусть e1= (1, 0), e2= (0, 1) — базис в R2. Марица A квадратичной формы в этом базисе имеет вид: Найдём канонический базис квадратичной формы — собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:
Имеем: E1, E2 — канонический базис квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы в этом базисе k(y) = 4y12 + 2y22. Числа 4, 2 — канонические коэффициенты квадратичной формы. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2. Отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 0. Сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2. Ранг квадратичной формы равен 2.
Действительная квадратичная форма f (x1,x2…,xn) называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из п положительных квадратов: f (x1,x2…,xn) ~ φ (y1, y2….yn), где (1.9) , т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Систему значений x1,x2…,xn назовем нулевой, если x1= х2 = ... = xn =0, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.
Теорема 6. Действительная квадратичная форма f (x1,x2…,xn) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x1, x2…,xn. Пусть дана квадратичная форма f (x1,x2…,xn) с матрицей А = (ау). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры , т. е. миноры порядка 1, 2, ... , п матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.
Теорема 7. Квадратичная форма f (x1,x2…,xn) с действительной
матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду:
φ (y1, y2….yn)= -y21 – y22 -…- y2n (1.10).
Теорема 8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.
Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.
Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.
Пример. Доказать, что квадратичная форма f (x1, x2, x3)
= 6x21+ 5х22 + 7х23 - 4х1х2 + 4х1x3 положительно-определенная.
Запишем матрицу A этой квадратичной формы и определитель матрицы А:
Так как главные миноры матрицы a11=6, все положительны, то данная квадратичная форма является положительно-определенной.
Теорема 9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную форму f (x1,x2…,xn) к каноническому виду:
φ (y1, y2….yn)= λ1y21+λ2y22+λny2n (1.11),
то λ1, λ2,…. λn — характеристические числа матрицы А квадратичной формы f.
Теорема 10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.
Теорема 11. Для любой действительной симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Т, что Т-1АТ - диагональная матрица.
С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование x1= √3/5 y1 + √2/5 y2, x1= 1/√5(√3y1 + √2y2) или x2= √2/5 y1 + √3/5 y2, x2 = 1/√5 (- √2y1 + √3y2).
Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду φ (y1, y2) = y21+ 11y22.
Глава 2. Практическая часть.
Задание 1. Привести к каноническому виду уравнение линии в квадратичной форме.
Задание 2. Какую поверхность определяет уравнение 6x2+5y2+7z2– 4xy+4xz=18?
Решение задания № 1.
Составим характеристическое уравнение квадратичной формы 6x2 + 2√5xy + 2y2 – 21=0, при a11=6, a12=√5, a22=2.
= = (6 – λ)(2 – λ) -5 = 12 – 6λ – 2λ + λ2 – 5=λ2 - 8λ+ 7.
Находим корни этого уравнения, λ1= 7, λ2= 1.
Найдем координаты собственных векторов:
Полагая m1 = 1, получим n1 = 1/√5
Полагая m2 = 1, получим n2 = - √5
Собственные векторы: U1 = (1;1/√5) и u2= (1; - √5), [u1] = √6 и [u2] =
Находим координаты единичных векторов нового базиса,
е1 = (√5/√6; - √1/√6) и е2= (√1/√6; √5/√6).
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
(xt)2 +3(yt)2 = 21
Каноническое
уравнение линии в новой
Ответ:
Каноническое уравнение линии в
новой системе координат будет
иметь вид: xt2
/ 21 + yt2 / =1.
Решение задания № 2.
Ответ:
уравнение определяет эллипсоид
с полуосями, а =√6, b =√3, c = √2.
Список использованной литературы