Квадратичные формы

     Оглавление.

     Введение…………………………………………………………………2

     Глава 1. Теоретическая часть…………………………………………4

1. Квадратичная форма и ее матрица………………………………4
2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных………………………………8
3. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду…………………………………………………………9
4. Закон инерции квадратичных форм……………………………12
5. Знакоопределенные квадратичные формы……………………13
6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных……………………15
7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости и в пространстве……………………………………………………..15

     Глава 2. Практическая часть…………………………………………23

     Список  использованной литературы…………………………………25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение.

     Арифметическая  теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

     Теория  квадратичных форм впервые была развита  французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области

     Изучение  основ теории билинейных и квадратичных форм вызывает ряд трудностей методического характера, обусловленных существованием нескольких различных подходов к построению этой теории. Принятое изложение, основанное на теории унитарных и евклидовых пространств и содержит единый подход к изучению симметричных и эрмитовых форм.

     При изучении квадратичных форм необходимо знание классических понятий теории унитарных и евклидовых пространств и основных свойств самосопряженных и унитарных (ортогональных) линейных операторов. Общими обозначениями являются: P – основное поле, под которым мы будем понимать поле комплексных чисел C или поле действительных чисел R. α - комплексное число, сопряженное к комплексному числу α ( α= α . α . R); |α| - модуль комплексного числа α. L - линейное пространство над полем P. В случае, когда размерность линейного пространства L равна n (L = Ln) будем считать L унитарным (при P = C ) или евклидовым (при P = R ) пространством, так как на любом конечном пространстве Ln над полем C или R можно определить скалярное произведение. Для любых векторов x, y . Ln (x, y) обозначает их скалярное произведение. Остальные обозначения или являются общепринятыми в линейной алгебре.

     Целью курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы и ее свойств.

     Перейдем  теперь к краткой характеристике содержания курсовой работы, посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных квадратичных форм.

     В теоретической части работы приводятся предварительные общие сведения квадратичных формах и ее свойств.

     В практической части курсовой работы представляется решение задач по заданной теме.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Глава 1. Теоретическая часть.

1. Квадратичная форма и ее матрица.

   Квадратичной  формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристики не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном  базисе в L квадратичная форма имеет вид (по соглашению Эйнштейна), где , а aij =aji.

     Квадратичной  формой  f (x₁,x₂…,x_n)  п действительных  переменных (x₁,x₂…,x_n) называется сумма вида: 

      
(1.1)

или   f(x_1,x_2,…x_n) = ∑_i=1 ∑ _j=1 a_ij x_i x_j, (1.2), где a_ij - некоторые числа, называемые коэффициентами.

     Не  ограничивая общности, можно считать, что a_{ij =} a_ji. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

     Квадратичная  форма обладает следующими свойствами:

     1) Симметричную билинейную форму  A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

     2) Если матрица квадратичной формы  имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

     3) Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого  x≠ 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

     Квадратичная  форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все  угловые миноры её матрицы строго положительны.

     Квадратичная  форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки  всех угловых миноров её матрицы  чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

     4) Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

     5) Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

     Для приведения квадратичной формы к  каноническому виду используется метод Лагранжа. Метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

     Данный  метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

     - хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать  a₁₁≠0 (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

     - все коэффициенты a_ii = 0,i = 1,2,...,n, но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ) a₁₂≠0.

     В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n, а через f₂(x₂, x₃,...,x_n) обозначены все остальные слагаемые. f₂(x2,...,x_n) представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных x₂, x₃,...,x_n. С ней поступают аналогичным образом и так далее. Заметим, что .

     Второй  случай заменой переменных x₁ = y₁ + y₂, x₂ = y₁ − y₂, x₃ = y₃,...,x_n = y_n сводится к первому.

     Матрицей  квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1.1) соответствует единственная симметрическая матрица

       (1.3)

     И наоборот, всякой симметрической матрице (1.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом  квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. r = п, и вырожденной, если  r< п. При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

     Матрицей  называется прямоугольная таблица  из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.

     В дальнейшем для записи матриц будут  применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки

     Квадратичную  форму (1.1) п переменных х₁, х₂,...,х_n можно записать в матричном виде. Действительно, если  Х- матрица-столбец из переменных (x₁,x₂…,x_n), X^{T -} матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то f (x₁,x₂…,x_n)= X^TAX (1.4),  А определяется формулой (1.3).

     Пример 1.

     Пусть e₁, ..., e_n — базис в L. И пусть для вектора x из L задано разложение x = x₁·e₁+x₂·e₂+ ...+ x_n· e_n. Тогда для квадратичной формы k(x) справедливо представление

Здесь φ(e_i , e_j ) — значение полярной для k(x) билинейной формы φ(x , y). Матрица A = {a_ij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей. Пусть k(x) = x₁₂ + x₂₂— квадратичная форма в пространстве R₂. Пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R₂. Вычислим матрицу A квадратичной формы. Поскольку симметричная билинейная форма φ(x, y) = (x, y) — полярная для квадратичной формы k(x) = φ(x, x ) то матрица A квадратичной формы совпадает с матрицей Φ билинейной формы φ(x , y):

     Проверим. Для этого подставим матрицу  A в матричное представление квадратичной формы k(x)=xT·A·x:

Матрица квадратичной формы вычислена, верно.

     Пусть k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂ — квадратичная форма в пространстве R₂. Пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R2. Вычислим матрицу A квадратичной формы. Поскольку симметричная билинейная форма φ(x, y) = φ(x₁, x₂, y₁, y₂) = 3x₁ y₁ − x₂ y₁− x₁y₂ + 3x₂y₂ — полярная для квадратичной формы k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂, k(x) = φ(x, x ) то матрица A квадратичной формы совпадает с матрицей Φ билинейной формы φ(x, y):

     Проверим. Для этого подставим матрицу A в матричное представление квадратичной формы k(x)=x^T·A·x:

Матрица квадратичной формы вычислена, верно.

2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных.

     Рассмотрим  квадратичную форму (1.1). Перейдем к  новым переменным y₁, y₂….y_n по формулам

      (1.5)

или в  матричном виде X=BY (1.6), где (1.7). В квадратичной форме (1.1) вместо (x₁,x₂…,x_n) подставим их выражения через y₁, y₂….y_n определяемые формулами (1.5), получим квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) п переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x_1,x_2,…x_n) переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) линейным однородным преобразованием (1.5). Линейное однородное преобразование (1.6) называется невырожденным, если det B≠0.

     Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если f (x₁,x₂…,x_n) и φ (y₁, y₂….y_n) конгруэнтны, то будем писать f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n). Свойства конгруэнтности квадратичных форм:

1. f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n).
2. Если  f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n), φ (y₁, y₂….y_n)~ψ(z₁, z₂…z_n)

     Теорема 1. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с матрицей А линейным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) с матрицей С=В^T АВ.

     Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

     Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

3. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.

     Квадратичная  форма f (x₁,x₂…,x_n) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т. е. (1.8). Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если | a_n | = 1 ( i= 1, 2, . . . , r), т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или  —1.