Координатно-параметрическая плоскость

 
 
 
 
 

Координатно-параметрическая  плоскость.

Метод частичных  областей

и координатно-параметрический  метод

при решении  уравнений с параметрами.

  

                                                                       Работу выполнила:

                                                                            Руководитель: 
 
 
 
 

            2008 г. 
 
 
 
 
 
 

           Содержание:

1. Ведение………………………………………………………………………………3
2. Общая характеристика методов……………………………………………………4
3. Практическая часть: применение методов……………………………………...…5
4. Вывод………………………………………………………………………………..11
5. Список используемой литературы………………………………………………...12
6. Приложение (решенные задания)……………………………….………………….13

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение. Мотивом для написания мной этой работы стало то, что современная образовательная политика направлена на профильное,  глубокое, обучение учащихся. Я учусь в гимназическом классе гуманитарного направления. Но для меня есть необходимость иметь глубокие знания в области математики, но не все разделы математики  изучаются в школьной программе. И данный раздел, т.е. КП-плоскость, не рассматривается. А в экзамене есть. И именно в тех частях С, В, который гарантирует высокий, проходной для вуза, балл.  Именно поэтому я стала рассматривать это направление.

Решение задач  с параметрами часто вызывает трудности, эти задачи, как правило,  связаны с исследованием искомых  решений  в зависимости от значений параметров. Так что же такое параметр-это величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент (напр., кривую) из множества элементов (кривых) того же рода.

 Данная работа  представляет совокупность заданий  с повышенной трудностью и  требует глубоких знаний школьного  курса и логической культуры. Те методы, который будут рассмотрены  в данной работе, впервые были применены ,30 лет назад Моденовым В.П. Эти методы основаны на логических схемах решения типовых уравнений,  реализованных в виде логических схем рационализации алгебризации, то есть замены иррациональных уравнений на равносильные рациональные алгебраические. За 30 лет использования подходов было доказана их эффективность. Представленные методы решения уравнений и других задач основаны на замене одного математического высказывания, другим равносильным математическим высказыванием. Методика равносильных высказываний особенно эффективна при решении задач с параметрами и в сочетании КП-методом и МЧО поможет успешно справиться с решением широкого класса задач.  КП-метод и МЧО иллюстрируется на примерах решения задач из вариантов вступительных экзаменов по математике  в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Кроме того, решение  задач с параметрами способствует развитию математического кругозора  и творческих способностей. И в этой работе я хочу повысить качество своей подготовки к итоговой аттестации, т.е.  сдаче ЕГЭ. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Ход моей работы заключался в том, что рассматривала  я те темы, которые были уже пройдены в школьной программе, или, которые  я проходила в момент исследования.

Всего существует 4 типа задач с параметрами.  Для  конкретного рассмотрения, мной был  выбран  четвертый тип: (координатно-параметрический способ решения задач с параметрами) знакомит подходом – параметр, как переменная равноправная с неизвестной на плоскости x0a . При решении неравенств происходит обобщение с методом интервалов – методом частичных областей.

Объект: Типовые уравнения, содержащие параметр,  в решении которых можно применить КП-метод и МЧО.

Цель: Выработать навыки для решения типовых заданий с параметрами, в которых возможно использовать КП-метод и МЧО. А так же выработать способ нестандартного мышления для решения разного вида заданий.

Задачи: Изучить литературу и другие источники информации по данной тематике. Провести анализ заданий. Решить отобранные задания.

Методы: Изучение, анализ, отбор информации. Анализ, отбор, решение заданий. 
 
 
 
 

Общая характеристика методов.

КП-метод(координатно-параметрический метод).   Пусть на плоскости даны две взаимно перпендикулярные с общим началом в точке О числовые оси.  Одну из них назовем координатной,  а другую параметрической. Плоскость,  в свою очередь, КП-плоскостью (координатно-параметрической плоскостью).  Этот метод основан на нахождении множества всех точек КП-плоскости, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию.  Пусть на КП-плоскости найдено множество всех точек, значение координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению. Может оказаться, что при любом допустимом значении параметра уравнение решений не имеет, либо не имеет решений для некоторых значений параметра, или уравнение имеет конечное число решений, или бесконечное множество.  Записывая ответ, необходимо  поставить в соответствие каждому допустимому фиксированному значению параметра a значение искомой величины x.т.е Координаты соответствующих точек на данного множества.

 Так же  есть два частных случая:

1. Координата  x есть функция параметра a. Данной условие неявно задано уравнением. На КП-плоскости xOa c горизонтальной параметрической осью Oa множество всех точек, значений координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют уравнению, представляет собой график функции, где роль аргумента функции играет параметр.
2. Параметр a есть функция координаты x. Данное условие неявно задано уравнением. В этом случае можно рассматривать КП-плоскость   aOx с вертикальной параметрическо осью  Оа и интропритировать множество всех точек, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют уравнению, как график функции, где роль аргумента функции играет координата.

МЧО(метод «частичных областей»). Идея  заключается в том, что решения задачи  в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из частичных областей. МЧО применяется в совокупности с КП-методом. Так же данный метод может использоваться, как метод «промежутков». Рассмотрим  неравенство P(x,a)>0 где P(x,a) – многочлен, аргументами которого являются переменная x и параметр a. Пусть уравнение P(x,a)=0 определяет некоторые линии на КП-плоскости.  Разобьём этими линиями КП-плоскость на конечное число N «частичных областей» G₁, G₂, G₃,…,G_n, ограниченных линиями P=0. В каждой из областей многочлен отличен от нуля, так как точки, в которых выражение равно нулю принадлежат границе этих частичных областей. Таким образом, решение неравенства – множество всех пар чисел, при которых неравенство выполняется, образует совокупность тех областей, в которых значение многочлена положительно. Для установления, какое из неравенств P>0 или P<0выполняется в данной области достаточно, например, вычислить значение выражения в какой-нибудь определённой точке этой области 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть: применение методов.

Задание 1:        

 Решить уравнение.                                      Решение.

Заменим уравнение  совокупностью смешанных систем.

                                                    

Приравнять внутреннюю часть модуля нулю. 

Исследуем каждую «частичную область»

Заменим уравнение  совокупностью смешанных систем

                                                               

 

                                          

Ответ:

   нет пересечений

Задание2:           

Для каждого  значения параметра решить систему  уравнений.

Решение. 
 

                       

1.    

Обе функции не входят в частичные области, следовательно, не имеют решений.

2.               не имеет решений
3.                                не имеет решений

                               

Ответ:  

Задание 3:        

Решить уравнение, определить при каких значениях  параметра оно имеет ровно  два решения.

Решение.

         

Приравниваем  внутреннюю часть  модуля нулю.

    

Исследуем все варианты раскрытия модуля в  уравнении.

        

         

                                       

                                  

                        

 
 
 

 

                                                                          

      Ответ:

Задание 4:          

Найти все значения параметра, при которых уравнение  имеет 

Решение.