Контрольная работа по "Высшей математики"
Контрольная работа, 14 Ноября 2015, автор: пользователь скрыл имя
Описание работы
1) Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение +≤21 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 10.5. Соединяем точку (0;3) с (10.5;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 2 * 0 + 7 * 0 - 21 ≤ 0, т.е. 2x1+7x2 - 21≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Содержание работы
Задача № 1
Задача № 2
Задача № 3
Задача № 4
Задача № 5
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Файлы: 1 файл
Контрольная работа вар. № 4 - копия.docx
— 1.52 Мб (Скачать файл)Обозначим через , , планируемые объемы производства соответствующих изделий, получим задачу максимизации:
F(X)=+++
при условиях:
++ + ≤ 150
++ + ≤ 170
++ + ≤ 190
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0 .
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
5x1 + 10x2 + 15x3 + 20x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 150
20x1 + 15x2 + 10x3 + 5x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 170
15x1 + 9x2 + 4x3 + 17x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 190
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
5 |
10 |
15 |
20 |
1 |
0 |
0 |
20 |
15 |
10 |
5 |
0 |
1 |
0 |
15 |
9 |
4 |
17 |
0 |
0 |
1 |
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,150,170,190) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x5 |
150 |
5 |
10 |
15 |
20 |
1 |
0 |
0 |
x6 |
170 |
20 |
15 |
10 |
5 |
0 |
1 |
0 |
x7 |
190 |
15 |
9 |
4 |
17 |
0 |
0 |
1 |
F(X0) |
0 |
-61/2 |
-8 |
-14 |
-10 |
0 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3 и из них выберем наименьшее:
min (150 : 15 , 170 : 10 , 190 : 4 ) = 10 Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (15) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x5 |
150 |
5 |
10 |
15 |
20 |
1 |
0 |
0 |
10 |
x6 |
170 |
20 |
15 |
10 |
5 |
0 |
1 |
0 |
17 |
x7 |
190 |
15 |
9 |
4 |
17 |
0 |
0 |
1 |
471/2 |
F(X1) |
0 |
-6,5 |
-8 |
-14 |
-10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3. Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=15 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (15), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
150 : 15 |
5 : 15 |
10 : 15 |
15 : 15 |
20 : 15 |
1 : 15 |
0 : 15 |
0 : 15 |
170-(150 * 10):15 |
20-(5 * 10):15 |
15-(10 * 10):15 |
10-(15 * 10):15 |
5-(20 * 10):15 |
0-(1 * 10):15 |
1-(0 * 10):15 |
0-(0 * 10):15 |
190-(150 * 4):15 |
15-(5 * 4):15 |
9-(10 * 4):15 |
4-(15 * 4):15 |
17-(20 * 4):15 |
0-(1 * 4):15 |
0-(0 * 4):15 |
1-(0 * 4):15 |
0-(150 * -14):15 |
-61/2-(5 * -14):15 |
-8-(10 * -14):15 |
-14-(15 * -14):15 |
-10-(20 * -14):15 |
0-(1 * -14):15 |
0-(0 * -14):15 |
0-(0 * -14):15 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
10 |
1/3 |
2/3 |
1 |
11/3 |
1/15 |
0 |
0 |
x6 |
70 |
162/3 |
81/3 |
0 |
-81/3 |
-2/3 |
1 |
0 |
x7 |
150 |
132/3 |
61/3 |
0 |
112/3 |
-4/15 |
0 |
1 |
F(X1) |
140 |
-15/6 |
11/3 |
0 |
82/3 |
14/15 |
0 |
0 |
Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее:
min (10 : 1/3 , 70 : 162/3 , 150 : 132/3) = 41/5
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (162/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x3 |
10 |
1/3 |
2/3 |
1 |
11/3 |
1/15 |
0 |
0 |
30 |
x6 |
70 |
162/3 |
81/3 |
0 |
-81/3 |
-2/3 |
1 |
0 |
41/5 |
x7 |
150 |
132/3 |
61/3 |
0 |
112/3 |
-4/15 |
0 |
1 |
1040/41 |
F(X2) |
140 |
-15/6 |
11/3 |
0 |
82/3 |
14/15 |
0 |
0 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x6 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=162/3 На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
10-(70 *1/3):162/3 |
1/3-(162/3 *1/3):162/3 |
2/3-(81/3 *1/3):162/3 |
1-(0 *1/3):162/3 |
11/3-(-81/3 *1/3):162/3 |
1/15-(-2/3 *1/3):162/3 |
0-(1 *1/3):162/3 |
0-(0 *1/3):162/3 |
70 : 162/3 |
162/3 : 162/3 |
81/3 : 162/3 |
0 : 162/3 |
-81/3 : 162/3 |
-2/3 : 162/3 |
1 : 162/3 |
0 : 162/3 |
150-(70 * 132/3):162/3 |
132/3-(162/3 * 132/3):162/3 |
61/3-(81/3 * 132/3):162/3 |
0-(0 * 132/3):162/3 |
112/3-(-81/3 * 132/3):162/3 |
-4/15-(-2/3 * 132/3):162/3 |
0-(1 * 132/3):162/3 |
1-(0 * 132/3):162/3 |
140-(70 * -15/6):162/3 |
-15/6-(162/3 * -15/6):162/3 |
11/3-(81/3 * -15/6):162/3 |
0-(0 * -15/6):162/3 |
82/3-(-81/3 * -15/6):162/3 |
14/15-(-2/3 * -15/6):162/3 |
0-(1 * -15/6):162/3 |
0-(0 * -15/6):162/3 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
83/5 |
0 |
1/2 |
1 |
11/2 |
2/25 |
-1/50 |
0 |
x1 |
41/5 |
1 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
-1/25 |
3/50 |
0 |
x7 |
923/5 |
0 |
-1/2 |
0 |
181/2 |
7/25 |
-41/50 |
1 |
F(X2) |
1477/10 |
0 |
21/4 |
0 |
73/4 |
43/50 |
11/100 |
0 |