Контрольная работа по "Математике"

    1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».

    Решение. В данном случае испытание состоит в том, что из 25 человек наугад берутся 8 человек. При этом число всех равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов равно

      .

    Здесь мы используем сочетания, т.к. подмножества из 8 элементов неупорядочены.

    Количество  способов, которыми из 10 отличников можно взять 3, есть

    

    Остальных человек (не отличников) в группе из 8 человек у нас будет 8-3=5. Их мы выбираем из оставшихся 25-8=17 человек  следующим числом способов:

    Далее, вероятность того, что в группе из 8 человек будут 3 отличника, вычисляем по классической формуле

       
 
 

    2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

    Решение. Число способов составления билетов по два вопроса из 30 есть

    

    Для каждого из 8 человек, знающих все вопросы, число билетов будет тем же самым, т.е., вероятность найти билет с известными вопросами есть 1 или 100%. Доля таких студентов в группе есть .

    Для следующих 6 человек возможное число  билетов с известными вопросами есть . Вероятность для них найти билет с известными вопросами есть . Доля таких студентов в группе есть .

    Аналогично, для следующих 5 человек  , , их доля есть .

    Для того, кто знает только 10 вопросов, число выигрышных билетов есть , , его доля есть .

    Теперь воспользуемся формулой полной вероятности

     =70,9%

     

    3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдёт: три, не менее трёх, не более четырёх.

    Решение. Так как возможность одновременного всхода и гибели семени нереальна, это несовместные события, то вероятность гибели семени есть q=1-p=0,2.

    Вероятность появления ровно 3 раза в серии из 6 событий находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 6 невелико (n £ 10):

    

    Не  менее трёх ― это означает либо 3, либо 4, либо 5, либо 6. Вычислим вероятность проращивания всех 6 семян: Р₆(6)=0,8⁶=0,262.

    Соответственно,

    

    Следовательно, вероятность того, что взойдёт не менее 3 семян, есть

    Р_n≥3(6)= P₃(6)+P₄(6)+P₅(6)+P₆(6)=0,082+0,262+0,246+0,393=0,983

    Не  более четырёх ― это значит, любое число, кроме 5 и 6, т.е., вероятность такого события есть

    Р_n≤4(6)=1-(P₆(6)+P₅(6))=1-0,393-0,262=0,345

    Ответ: , Р_n≥3(6)=0,983, Р_n≤4(6)=0,345. 

    4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.

    Решение. В этой задаче число испытаний  N = 1000 достаточно велико (N > 10), поэтому используем приближенные формулы Лапласа.

    Число бракованных деталей равно 10, то есть . Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа.

     , где

     .

    Результат вычислений для x₀ округляем с точностью до 0,01, так как значения функции φ(х₀) табулируются в с такой точностью. По специальной таблице, находим: φ(0,71)=0,3101.

    Следовательно,  

    5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа работ, оцененных на отлично. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.

    Решение. Имеем случайную величину Х ― число отличных работ. Её возможные значения .

    Пусть у нас не попалось ни одной из отличных работ, т.е., вытянули все 3 не отличные. Вероятность этого есть

    Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может быть вытащена в первый, во второй или только в третий раз. Вероятность такого события есть

     . Здесь 20 и 5 ― соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 ― число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.

    Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:

    

    И наконец, единственный исход со всеми отличными работами:

    

    Полученные  значения заносим в таблицу, которая  и будет представлять закон распределения данной случайной величины:

    Сумма всех вероятностей

    Для нахождения интегральной функции распределения  воспользуемся её определением применительно  к каждому промежутку изменения  случайной величины

    Итак, искомая функция распределения  выглядит следующим образом:

    

    Чертим  график

    

    Найдём  числовые характеристики случайной  величины:

    Мода  М₀=1

    Математическое  ожидание

     

    Дисперсия

    

    Среднеквадратичное  отклонение  
 

    6.01. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей

    

    Определить  параметр А, функцию  распределения F(x), моду, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях случайная величина Х попадёт 3 раза в интервал (0, 2). Построить графики функций f(x), F(x).

    Решение. Так как ненулевая наша функция  распределения только на интервале от 1 до ∞, то воспользуемся свойством нормировки плотности вероятности:

     , откуда А=4

    Таким образом,

    Чертим  график такой функции

    

    Найдём  моду такой функции. Мо=1, так как наибольшее значение плотность вероятности принимает именно при x=1

    Найдём  медиану:

     . Отсюда

    Найдём  математическое ожидание

    

    Дисперсия

    

    Среднеквадратичное  отклонение

    Найдём  интегральную функцию распределения:

    При x≤1, F(x)=0

    При x>1

    Таким образом,

    Вычерчиваем такой график

    

    Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах:

     , так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю.

    Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли

      

    7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет.

    Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть , где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение.

    В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15

    Следовательно, . Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000

    Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит  до 15 лет есть Р₁=0,4996+0,5=0,996

    Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть

     . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р₂=0,5+0,4082=0,9082

    Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности. . Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р₃=0,5-0,499968=3,2·10^-5. 

    8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал

    

    Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный  запас обуви найдём по формуле  , где . По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем t_γ=2,20.

    Составляем  расчётную таблицу для нахождения и S.