Контрольная работа по «Финансовая математика»

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

Филиал в г. Краснодаре

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

 

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 5

Выполнила:

Студентка 4 курса специальности «Финансы и кредит»

Личное дело № 09ФФД41395

Петрова Екатерина Сергеевна

1 поток

 

Преподаватель: Дараган А.К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краснодар

 

2012

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную  модель Хольта-Уинтерса с учетом  сезонного фактора, приняв параметры  сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной  модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты  по критерию пиков;

- независимости уровней ряда  остатков по d-критерию (критические значения d₁=l,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной  компоненты по R/S-критерию с критическими  значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз  на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические,  расчетные и прогнозные данные.

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Вариант 5	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

 

Решение:

1. Построение  адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Исходные данные:

 

 

Таблица 1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

 

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = a(0) + b(0) * t

Определим коэффициенты линейного  уравнения а(0) и b(0) по формулам:

Произведем расчеты в Excel (рис.1):

Рис.1 Расчеты коэффициентов a(0), b(0)

Уравнение с учетом полученных коэффициентов  имеет вид:

Y_p(t) = 39,214 + 0,869*t

Из этого уравнения находим  расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2):

Рис.2 Расчетные значения

Такое сопоставление позволяет  оценить приближенные значения коэффициентов  сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0).

 Эти значения необходимы  для расчета коэффициентов сезонности  первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других  параметров модели Хольта–Уинтерса.

 

Рис.3 Коэффициенты сезонности

Оценив значения а(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0) перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1, значения параметров сглаживания  α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

 

Рис.4 модель Хольта-Уинтерса

2. Проверка  точности построенной модели.

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

Ēотн = 1,937%

 

1,937%<5%, следовательно, условие точности выполнено.

 

3. Оценка адекватности  построенной модели.

 

3.1 Проверка  случайности уровней.

Гипотеза подтверждается если P > q, где

Функция int означает, что от полученного  значения берется только целая часть.

Рис.5 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Из рисунка 5 P = 8, 6<8, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

 

3.2 Проверка  независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).

Проверка проводится двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина–Уотсона: табличные значения d₁=1,1, d₂=1,37.

d= 2,41, в данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

d’ = 4 – d = 4-2,41 = 1,59

Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2, в  данном случае d₁=1,1 и d₂=1,37.

Так как d₂<1,59<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

r1= -1,273/19,974 = -0,06

Для нашей задачи критический уровень r_таб=0,32 - значит уровни независимы.

3.3 Проверка  соответствия ряда остатков нормальному  распределению по R/S-критерию с  критическими значениями от 3 до 4,21.

, где  , S = 0,498

 

Рис.6 Расчет RS-критерия

Полученное значение не попало в  заданный интервал.

4. Построим  точечный прогноз на 4 шага вперед.

Находим прогнозные значения экономического показателя для Y_p(t):

 

Рис.7 Расчет прогнозных значений

5. Отразим  на графике расчетные, фактические  и прогнозные данные.

Рис.8 Сопоставление расчетных и  фактических данных

Из рисунка видно, что расчетные  данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.

Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

Расчеты выполнить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

Экспоненциальная  скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

EMA_t = C_t*K + EMA_t-1*(1- K), где,

C_t – цена закрытия,

n– интервал сглаживания, n=5.

Для вычисления экспоненциальной средней  сформируем таблицу:

Рис.9 Расчет экспоненциальной средней

Момент (МОМ) рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

Рис.10 Расчет момента

Рис.11 График момента

Движение графика момента вверх (рис. 11) свидетельствует о повышении  цен.

Скорость изменения  цен (ROC):

Рис.12 Расчет скорости изменения цен

Рис.13 График скорости изменения цен

ROC является отражением скорости изменения цены , а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 9-10 дни говорит о сигнале к покупке. На 6-7 день скорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительной  силы (RSI).

Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является важным его достоинством.

Для его расчета применяется  формула:

где AU – сумма приростков конечных цен за n дней,

AD – суммы убыли конечных  цен за n дней.

Рис.14 Расчет индекса относительной  силы

Отобразим на графике полученные значения RSI (рис. 15).

 

Рис.15 График индекса относительной силы

Зоны перепроданности располагаются  обычно ниже 25-20, а перекупленности - выше 75-80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход  из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 7-10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

Стохастические  линии.

Смысл индексов %К и %R состоит в  том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

где %K_t – значение индекса текущего дня,

C_t – цена закрытия текущего дня,

L₅ и H₅ – соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

где %R_t – значение индекса текущего дня, t,

C_t – цена закрытия текущего дня t,

L_n и H_n – соответственно минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, включая текущий.

Составим таблицу расчета индексов стохастических линий и заполним ее (рис. 18).

В ячейку Е8 введем формулу =МАКС(B222:B226) и размножим ее, а в ячейку F8 формулу =МИН(C222:C226) и тоже размножим (рис. 16)