Комплексные числа в школьном курсе математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Дополнительные задачи на определение и свойства.

Проанализировав задания всех учебников, я сделала вывод, что меньше всего уделяется вниманиям задачам на доказательство.

Вот несколько задач, которые я бы включила в план изучения комплексных чисел.

Задача 1.

Доказать, что для любых двух комплексных чисел справедливо равенство: .

Доказательство.

Используя свойства комплексно сопряженных чисел, получаем:

ч.т.д.

Задача 2.

Доказать, что   Пусть и

Тогда:

 

С другой стороны:

, т.е. получаем  , то что требовалось доказать.

Задача № 3.

 Обозначим через ! Произведение - всего сомножителей, в последнем - единиц. Докажите, что ! Делится на произведение ! ! [9].

Решение. Рассмотрим многочлены , (над полем комплексных чисел). Достаточно доказать, что делится на .

Действительно, - приведенный многочлен, частное – многочлен с целыми коэффициентами. Подставим , получаем утверждение задачи.

Первый способ. Корнями многочлена являются все (кроме единицы) корни й степени из единицы. Пусть первообразный корень й степени из 1. Тогда он является корнем й степени тогда и только тогда, когда кратно . Поэтому множитель входит в разложение на линейные множители в степени, а в - в степени Следовательно, делится на .

Второй способ. Достаточно доказать, что делится на Это эквивалентно тому, что многочлен делится на Поделим с остатком: , где и - многочлены  с целыми коэффициентами, и предположим, что Поскольку при больших натуральных выполнено неравенство т.е. число не кратно

Но, как известно, для любого простого числа количество мерных подпространств в равно

Противоречие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

1. Виленкин Н. Я. Алгебра и начала  математического анализа. 11 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).М.: Просвещение, 2009.
2. Виленкин Н. Я. Алгебра и начала  математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).М.: Просвещение, 2009.
3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).М.: Мнемозина, 2009.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).М.: Мнемозина, 2009.
5. Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс :учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений: профильный уровень. М.: Бином, 2009.