Комплексные числа в школьном курсе математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО

 «Красноярский  государственный педагогический  университет им. В.П. Астафьева»

Институт математики, физики, информатики

 

 

 

Реферат

«Комплексные числа в школьном курсе математики »

 

 

 

Работу выполнила: студентка 41 группы Ускова А.В.

Проверила: к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания Калачева  С.И.

Оценка: ___________________

Дата защиты: ______________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Красноярск 2015

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Понятие числа является основным фундаментом всего школьного курса математики, на котором основывается вся информация, начиная с первого и до 11 класса. Знакомство начинается с натуральных чисел и действий с ними. В пятом классе  вводится материал, включающий в себя дроби, так как выполнения деления невозможно, например 1:4. В шестом классе добавляется информация об отрицательных числах, так как невозможно выполнения  вычитания некоторых чисел невозможно без этих знаний, например: 1-5. После натуральных, целых, рациональных чисел, добавляются иррациональные, для того, чтобы изучить операцию извлечения корней, например, √4. Но в школьном курсе математики этот вопрос остался не завершённым. При решении квадратных уравнений, возникает случай когда дискриминант является отрицательным числом, тогда действительных корней не существует. Но если ввести множество комплексных чисел, то квадратное уравнение всегда будет иметь корни. Конечно, их введение  уместно только в старших классах для систематизации всей информации в общую картину.

Однако значение комплексных чисел в современности  выходит далеко за рамки проблемы решений простейших уравнений. Вот несколько примеров, иллюстрирующих исключительно важную роль комплексных чисел в математике:

1. Оснавная теорема алгебры  устанавливает, что любой многочлен  степени n вещественными коэффициентами имеет ровно n корней (в общем случае - комплексных). Нахождение этих корней является одним из элементов алгоритма решения некоторых типов дифференциальных уравнения.

2. Комплексные числа позволяют  установить взаимосвязь между  тригонометрическими функциями и показательной функцией с комплексным показателем степени. В результате оказывается, что каждую тригонометрическую функцию можно выразить через линейную комбинацию показательных функций, а обратные тригонометрические функции выражаются через обратную показательную функцию (логарифм).

3. Вычисление многих интегралов, относящихся к разряду «неберущихся» (в смысле нахождения первообразных  в классе элементарных функций), превращается в почти тривиальную  проблему при использовании аппарата  теории функций комплексной переменной.

   Цели исследования: место, роль и содержание темы «Комплексные числа» в школьном курсе математики.

     Задачи моего исследования:

1. Изучить школьные учебники, в которых рассматриваются комплексные числа
2. Провести анализ теории и практических заданий по комплексным числам в отмеченных выше учебниках.
3. Подобрать нестандартные задания для отработки навыков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Различные подходы  к введению понятия комплексного  числа в школе.

В своей работе я рассматривала учебники трех авторов:

1) М. И. Шабунин «Алгебра. Начала математического анализа 10 класс.»

2) А. Г.  Мордкович «Алгебра и начала математического анализа 11 класс»

3) Н. Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса»

У каждого из них свой подход к введению понятия комплексного числа. Например:

М. И. Шабунин раскрывает понятия комплексных чисел в учебнике для 10 классе так: « Комплексными числами называют упорядоченные пары (а, b) действительных чисел а и b, для которых следующим образом определены понятия равенства и операции сложения и умножения. z=(a,b)  пусть [5]

 А. Г.  Мордкович раскрывает понятия комплексных чисел в только 11 классе так же как и Н. Я. Виленкин. Александр Григорьевич под комплексными числами понимается сумма действительного числа и чисто мнимого числа.  i- мнимая единица,

Н. Я. Виленкин же  раскрывает понятия комплексных чисел по-своему. По его мнению, комплексным числом z называют пару (а; b) действительных чисел  а и b, взятых в определенном порядке. Две пары  (а; b) и (c; d) задают одно и то же комплексное число  в том и только в том случае, когда они совпадают, т. е. когда а=с и b=d.

Понятия сопряженного комплексного числа все три автора рассматривают по-разному.

Понятия А. Г. Мордковича: «если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается: при [4]

Понятия М. И. Шабунина: «Сопряженным с числом называется комплексное число , которое обозначается , т.e. » [5]

И понятия Н. Я. Виленкина, по моему мнению, оно дано наиболее понятным языком. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются, лишь знаком мнимой части.

Так же все три автора приводят свойства операций над комплексными числами.

М. И. Шабунин предлагает нам рассмотреть всего три свойства, у каждого из них есть название.

1)Переместительное свойство (коммутативность):

2) Сочетательное свойство (ассоциативность):

3) Распределительное свойство (дистрибутивность):

[5]

Александр Григорьевич, так же как и Наум Яковлевич рассматривают по четыре свойства:

1) (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i

2) (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i

3) (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

4)

[4]

И свойства представленные в теории Наума Яковлевича:

1) z+w=w+z

   (z+w)+t=z+(w+t)

    z+0=z

2) zw=wz

    (zw)*t=z*(wt)

    z*1=z

3) z-w=z+(-w)

4) [2]

У А. Г. Мордкович в отличие от других авторов даются в теории минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

1) Существует комплексное  число, квадрат которого равен -1

2) Множество комплексных  чисел содержит все действительные числа.

3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных  чисел удовлетворяют обычным  законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

У Н. Я. Виленкина  отсутствует понятие равных комплексных чисел. Когда Шабунин и Мордкович уделяют внимания этому понятию. Понятие из теории Михаила Ивановича: «два комплексных числа и cчитаются равными тогда и только тогда, когда и , т. е. »[2]

Мордкович дает понятие иначе: «два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части: [4]

М. И. Шабунин с своем учебники не приводит свойство сопряженных чисел в отличии от других авторов. Александр Григорьевич рассматривает свойства как следствия:

Следствие 1.

Если то

Следствие 2.

, т. е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам.

Следствие 3.

 т.е. число, сопряженное  разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным  числам.

Следствие 4.

, т.е. число, сопряженное  произведению двух комплексных  чисел, равно произведению сопряженных  данным числам.[5]

А Наум Яковлевич рассматривает как теоремы:

Теорема 1.

Число, сопряженное с суммой комплексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных со слагаемыми:

Теорема 2.

Число, сопряженное с произведением комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных с множителями:

Теорема 3.

Если , то число, сопряженное с числом, обратным z, обратно числу, сопряженному с z:

Теорема 4.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.[2]

Все эти понятия для наглядности представлены в сравнительной таблице (таб.1)

Таблица 1.

Сравнительный анализ введения понятия комплексного числа в учебниках под редакцией А.Г. Мордковича, М. И. Шабунина, Н. Я. Виленкина.

Признак сравнения	М. И. Шабунин «Алгебра. Начала математического анализа 10 класс.»	А. Г.  Мордкович «Алгебра и начала математического анализа 11 класс»	Н. Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса»
Понятие	Комплексными числами называют упорядоченные пары (а, b) действительных чисел а и b, для которых следующим образом определены понятия равенства и операции сложения и умножения. z=(a,b) пусть	Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.	Комплексным числом z называют пару (а; b) действительных чисел  а и b, взятых в определенном порядке. Две пары  (а; b) и (c; d) задают одно и то же комплексное число  в том и только в том случае, когда они совпадают, т. е. когда а=с и b=d
Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа		C1)Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 C2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. C3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).
Понятие равных комплексных чисел	Два комплексных числа и cчитаются равными тогда и только тогда, когда и , т. е.	Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:
Свойства операций	1)Переместительное свойство (коммутативность): 2) Сочетательное свойство (ассоциативность): 3) Распределительное свойство (дистрибутивность):	1) (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i 2) (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i 3) (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 4)	1) z+w=w+z    (z+w)+t=z+(w+t)     z+0=z 2) zw=wz     (zw)*t=z*(wt)     z*1=z 3) z-w=z+(-w) 4)
Понятие сопряженного числа	Сопряженным с числом z=a+bi называется комплексное число a-bi, которое обозначается , т.e.	Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается :	Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.
Свойства сопряженных чисел		Следствие 1. Если z=x+yi, то Следствие 2. , т. е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Следствие 3.  т.е. число, сопряженное  разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным  числам. Следствие 4. , т.е. число, сопряженное  произведению двух комплексных  чисел, равно произведению сопряженных  данным числам.	Теорема 1. Число, сопряженное с суммой комплексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных со слагаемыми: Теорема 2. Число, сопряженное с произведением комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных с множителями: Теорема 3. Если , то число, сопряженное с числом, обратным z, обратно числу, сопряженному с z: Теорема 4. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Типы задач  из школьного курса математике  на определения и свойства.

Просмотрев учебники указанных авторов авторов, я разделила задания на три типа. Задачи на определение, вычисления и доказательства. Примеры заданий, распределенных по типам, представлены в таблице № 2.

Рассмотрим несколько заданий по всем темам из задачника Александра Григорьевича Мордковича.

Задачи на определение.

Задача1.

При каких действительных значениях а число

а) является действительным;

б) является чисто мнимым?

Решение.

Так как:

и

то

1. z – действительное число тогда и только тогда, когда т. е.
2. z – чисто мнимое число тогда и только тогда, когда т. е. , откуда находим, что а = 1 или

Ответ: а)0;б)1,-0,8

Задачи на решение.

Задача 1.

Даны комплексные числа Вычислить:

а)

б)

а)

б) .

Сначала найдем отдельно второе и третье слагаемое.

так как = -1.

 Производим подстановку:

так как = -1, производим подстановку:

Значит,

Ответ: 9+347i

 

Задача 2.

Решить уравнение .

Решение:

Пусть Тогда Значит . По определению равенства комплексных чисел получаем , что

Решаем эту систему:

Из первого уравнения выражаем х и решаем полученную систему.

3(-2-y)-y=6

-6-3y-y=6

-6-4y=12

y=-3

Подставим полученное значение в систему:

x=-2+3

x=1

Ответ: x=1, y=-3

 

Таблица 2.

А. Г. Мордкович “Алгебра и начала математического анализа 10 класс”
На определение	На решение		На доказательство
Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые: а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней; б)имеют рациональные корни, но не имеют целых корней; в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней.	Найдите значение многочлена при заданном значении переменной z: а) z=i; б)z=-2i;		Докажите, что: а) б)
Укажите хотя бы одно значение параметра а при котором у уравнения ; а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня действительные, но не рациональные	Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3-2i и разностью, равной -1+i. a) Составьте формулы n-го члена прогрессии; б) Найти сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.		Докажите, что число при любых действительных значениях b являются действительным.
Н. Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса»
На определение	На решение		На доказательство
При каких действительных значениях x и y комплексные числа 5+ixy, x+y+4i будут сопряженными?	Выполните действия над комплексными числами:		Докажите, что если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то эти комплексные числа – взаимно сопряженные.
Найдите комплексное число, равное квадрату сопряженного с ним числа.	Найдите действительные числа х и у, такие, что
М. И. Шабунин «Алгебра. Начало математического анализа 10-11 класс »
На определение		На решение	На доказательства
Показать, что операции сложения и умножения комплексных чисел коммутативны.		Решить систему уравнений:	Доказать, что для любых справедливы равенства: 1)
Найти комплексные числа z и w, для которых одновременно выполняются равенства: 1) 2)		Найти действительные значения х, удовлетворяющие неравенству: 1) 2)