Элементы теории вероятностей

3. Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;

          2) так как при однократном подбрасывании  трех монет может появиться  только один из перечисленных  исходов, то исходы испытания  несовместны;

          3) так как шансы на выпадение  «герба» или «цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.

4. Событие А: при однократном подбрасывании трех монет появился хотя бы один «герб».
5. Событие А среди перечисленных исходов благоприятствуют следующие: ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ, поэтому m = 7.
6. = .  

Ответ: А) Р(А) = 0,25; Б) Р(А) = .

           Замечание. Эта задача имеет и другое решение. Если иметь ввиду, что проводится не одно испытание, а три, то эти испытания удовлетворяют так называемой схеме Бернулли, решение задач в которой осуществляется по другому алгоритму.

           Как было выяснено, для вычисления вероятности в КСИ необходимо знать два числа:  m  - число исходов, благоприятствующих событию и n – число всех исходов данного испытания. В рассмотренных задачах мы эти числа находили непосредственным подсчетом. Однако, при решении многих вероятностных задач для вычисления этих чисел рационально применять комбинаторные формулы.

     Рассмотрим  решение таких задач.

     Задача 4. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых нанесены буквы а, г, и, л, м, о, р, т, получится слово алгоритм?

     Решение. Проводим по алгоритму.

1. Испытание Случайным образом располагают 8 кубиков в ряд.
2. ПЭС: каждое элементарное событие ω – слово из восьми букв, поэтому, чтобы подсчитать число элементарных событий нужно решить комбинаторную задачу: Скольким числом способов можно переставить 8 кубиков, на которых написаны буквы а, г, и, л, м, о, р, т.
1. Определим число элементов во множестве из которого выбираем n = 8.
2. Определим число элементов в выборке m = 8.
3. Определим характер выборки: 1) упорядоченная; 2) без повторений.
4. Каждое расположение кубиков, т.е. каждое слово, есть перестановка без повторений, поэтому 40320.

     Таким образом, решив сформулированную комбинаторную  задачу, мы нашли, что ПЭС данного испытания содержит n = 40320 точек.

3. Проверим условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 40320;

     2) одновременно два разных слова  при однократном расположении  в ряд кубиков появиться не  могут, поэтому исходы испытания  несовместны;

     3) так как располагаем кубики случайным образом, то исходы испытания равновозможные. Условия КСИ выполняются.

4. Событие А: появилось слово алгоритм.
5. Этому событию благоприятствует только один исход испытания, т.е. m = 1.
6. = .                                 

Ответ: Р(А) =  

     Задача 5. Имеется 25 российских и 15 зарубежных марок. Какова вероятность того, что из пяти выбранных наугад марок окажется  3 российские и 2 зарубежные марки?

     Решение.

1. Испытание Из 40 марок наудачу извлекают 5.
2. ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление определенной пятерки марок, поэтому чтобы определить число точек в ПЭС, нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов из 40 марок можно выбрать 5? Эту задачу решим по известному алгоритму:
1. Число элементов во множестве, из которого выбираем n = 40.
2. Длина выборки m = 5.
3. Характер выборки: 1) неупорядоченная; 2) без повторений.
4. Каждый набор из 5 марок есть сочетание без повторений, поэтому имеем = 658008.

     Таким образом, число точек в ПЭС  равно n = 658008.

3. КСИ выполняется.
4. Событие А: появились 3 российские и 2 зарубежные марки.
5. Чтобы определить число исходов, благоприятствующих данному событию нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов можно выбрать 3 российские марки из 25 и 2 зарубежные марки из 15? В результате решения получаем, что число исходов, благоприятствующих для События А  m = = 241500.
6. = 0,367.   

Ответ: Р(А) = 0,367.

           Замечание. Может показаться, что совсем не нужно каждый раз останавливаться на проверке условий КСИ, так как они все равно выполняются. Но это очень важный момент при решении вероятностной задачи.  

3. Аксиомы теории вероятности

     Определение 9. Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

     Определение 10. Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

     Определение 11. Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

      .

     Определение 12. События А₁,А₂,...,А_к образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. .

     События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то

     Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

     Задача 6. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

     Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы , где события и означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

     

     Помимо  обычной (безусловной) вероятности  можно рассматривать так называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:

     

     Из  этой формулы вытекает формула для  вероятности произведения двух событий  (теорема умножения)

      .

     Формула умножения для трех событий:

      .

     Задача 7. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

     Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

     

     Задача 8. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.

     Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность кроме того, (так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения

     

     Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A. Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:

     два события A и B независимы, если справедливо равенство

     Р(АВ) = Р(А) × Р(В).

     Это равенство можно использовать также  как удобный критерий независимости  при практической проверке независимости  двух событий.

     Задача 9. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

     Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:

      .

     Пусть событие А может быть реализовано  только при условии появления  одного из событий H_i, i = 1,..., n. Предположим, что события H_i несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события H_i называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

      . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение

     Итак, в работе были рассмотрены вероятность  как событие, классическая вероятностная модель, аксиомы теории вероятности.

     Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с  нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести).

     Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба  или выпадение цифры, попадание  в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной  игральной кости.

     Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом? Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

     Из  приведенного классического определения  вероятности вытекают следующие ее свойства: 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,

     2. Вероятность невозможного события  равна нулю. В самом деле, невозможному  событию не может благоприятствовать  ни одно из элементарных событий,  т.е. m = 0, откуда