Элементы теории вероятностей

           События А, D, Е являются совместными, так как число 2 одновременно является четным, меньшим чем 3 и простым.

           События С, D то же являются совместными, так как 1 является одновременно нечетным и меньшим 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Классическое  определение вероятности

     Ранее рассмотрено, что случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить вероятность, как степень возможности наступления того или иного события.

     Понятно, что более вероятные события  будут происходить чаще, чем менее  вероятные. Так что сравнивать вероятности  можно по частоте, с которой события  происходят.

     Попытаемся  расположить на специальной вероятностной  шкале следующие события в порядке возрастания вероятности их появления.

     Событие А: в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в воскресенье;

     Событие В: свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз;

     Событие С: при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;

     Событие D: при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков;

     Событие Е: при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков;

     Событие F: при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7.

     Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0.

     Таким образом, это будет событие Е. В конечной точке нашей шкалы расположим достоверное событие – F. Все остальные события являются случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания степени возможности их появления. Для этого мы должны выяснить какие из них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D: когда мы подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других – нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что событие D произойдет. Поэтому расположим событие D в середине нашей шкалы.

     У события С только один шанс из 6, в то время как у события D – три шанса из 6 (как мы выяснили). Поэтому С менее вероятно и будет расположено на шкале левее события D.

     Событие А еще менее вероятно, чем С, ведь в неделе 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один шанс из 7. Событие А, таким образом, будет расположено еще левее, чем событие С.

     Труднее всего расположить на шкале событие  В. Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»), поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D, поэтому на шкале расположим его правее, чем D. Таким образом, получим шкалу:

                                    Е      А   С                      D     В                            F

                                     

     невозможное                случайные                           достоверное 

     Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая  – на ней нет числовых меток, делений. Тогда встает задача научиться вычислять степень возможности наступления (вероятность) того или иного события.

     В теории вероятностей в зависимости  от того, каким условиям удовлетворяют  испытания, существует несколько определений  вероятности. Рассмотрим только одно из них и научимся решать задачи на вычисление такой вероятности.

     Пусть проводится одно испытание, удовлетворяющее  следующим условиям:

1. число исходов испытания конечно (равно n);
2. исходы испытания являются несовместными;
3. исходы испытания являются равновозможными.

     Перечисленные условия составляют так называемую классическую схему испытаний (КСИ).

     Определение 8. Вероятностью события в классической схеме испытаний называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих для данного события, к числу всех исходов испытания.

     Обычно  вероятность  события А обозначают Р(А). Таким образом,

                                             ………………………………(1),

     где  m – число исходов испытания, благоприятствующих для события А;

            n  – число всех исходов данного испытания.

           Решение задач на вычисление вероятности в классической схеме испытаний обычно осуществляется по следующему алгоритму.

           Алгоритм  вычисления вероятности  в КСИ

1. Формулируется испытание.
2. Определяется ПЭС данного испытания и число n  - число точек в нём.
3. Проверяется, удовлетворяет ли испытание (КСИ).
4. Формулируется событие А, вероятность которого нужно найти.
5. Определяется число m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А.
6. Вычисляется вероятность события А по формуле (1).

     Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её наудачу, помня только, что эта цифра нечетная, найдите вероятность того что, номер набран правильно.

     Решение. Воспользуемся предложенным алгоритмом.

1. Испытание. Наудачу выбирают одну из нечетных цифр.
2. ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление какой-то из нечетных цифр. Так как нечетных цифр всего 5, то n = 5.
3. Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания конечно n = 5;

         2) так как при выборе одной цифры не может появиться одновременно две различных цифры, то исходы испытания несовместны;

          3) так как выбор происходит  наудачу, то шанс выбора конкретной цифры одинаков для каждой цифры, т.е. исходы испытания равновозможные. Таким образом, все условия КСИ выполнены.

4. Событие. А: выбрали правильную цифру.
5. Среди пяти нечетных цифр только одна правильная, поэтому число исходов благоприятствующих Соб. А  m = 1.
6. = 0,2

     Ответ: Р(А) = 0,2.

           Замечание. Из определения 8 ясно, что вероятность это число всегда не меньшее нуля и не большее 1. 

     Задача 2. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.

     а) На класс дали один билет в цирк, который  решено разыграть  по жребию. Какова вероятность того, что в цирк пойдет девочка?

     б) Учитель истории  знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили  домашнее задание. К  сожалению, он не знает  их фамилий, но очень  хочет поставить  кому-нибудь двойку. Кого ему лучше  вызвать к доске  – мальчика или  девочку?

     Решение. а) Непосредственно воспользуемся алгоритмом.

1. Испытание. По жребию разыгрывается один билет среди 30 учеников.
2. ПЭС: каждое элементарное событие ω – билет достался одному из 30 учеников, поэтому число точек в ПЭС n = 30.
3. Проверяем условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 30;

          2) исходы испытания несовместны, т.к. жребий выпадает только одному ученику;

          3) т.к. выбор происходит по жребию, все ученики имеют равные шансы  пойти в цирк, т.е. исходы испытания  равновозможные.

4. Событие А. Билет достался девочке.
5. Так как в классе 20 девочек, то число исходов испытания, благоприятствующих Событию А  m = 20.
6. = = .  

      Ответ: Р(А) = .

     б) Для ответа на вопрос задачи вычислим вероятность того, что вызванная  к доске девочка не выучила  урок; и вероятность того, что вызванный к доске мальчик не выучил урок. Вычислять эти вероятности будем по алгоритму.

1. Испытание. Наудачу к доске вызывается девочка.
2. ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление у доски какой-то девочки из 20, поэтому число точек в ПЭС n = 20.
3. Проверим условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 20.

          2) исходы испытания несовместны;

          3) так как выбор происходит  наудачу, то исходы испытания  равновозможные.

4. Событие А. Вызванная девочка не выучила домашнего задания.
5. Так как домашнее задание не выучили 5 девочек, то число исходов, благоприятствующих для Событию А  m = 5.
6. = =0,25.

     Таким образом, вероятность того, что вызванная  к доске девочка, оказалась той  самой, которая ходила в кино, равна 0,26. Найдем вероятность того, что вызванный к доске мальчик не выучил урок.

1. Испытание: наудачу к доске вызывается мальчик.
2. ПЭС: n = 10.
3. КСИ выполняется.
4. Событие А: Вызванный мальчик не выучил домашнего задания.
5. m = 3.
6. = .

     Сравним полученные вероятности  , поэтому обиженный тем, что в кино ходили без него учитель должен вызвать к доске мальчика, так как в этом случае у него больше шансов поставить двойку.

     Задача 3. Одновременно подбрасывают три монеты.  А) Найти вероятность того, что все монеты упадут на одну сторону. Б) Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один «герб».

     Решение. А)

1. Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2. ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г – появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:

                  {ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8.

3. Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;

          2) так как при однократном подбрасывании  трех монет может появиться  только один из перечисленных  исходов, то исходы испытания  несовместны;

          3) так как шансы на выпадение «герба» или цифры» на каждой из монет одинаковые, то исходы испытания равновозможные.

4. Событие А: все три монеты упали на одну сторону.
5. Среди перечисленных исходов испытания только два – ГГГ; ЦЦЦ – благоприятствуют Событию А, поэтому m = 2.
6. = = 0,25.

     Решим задача под буквой Б).

1. Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2. ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г – появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:

                  {ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ;  ГЦЦ; ЦЦЦ}, n = 8.