Экономический смысл множителей Лагранжа

 

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВО «ЧелГУ»)

 

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

 

вариант 2

 

 

 

Направление 38.03.01 «Экономика»

 

 

 

 

Работу проверила: канд. пед. наук, и.о. зав кафедрой математических методов в экономике	Земцова Елена Михайловна
Работу выполнил: студент группы 15ЭЗ-101, курс 1 заочной формы обучения	Колесникова Елена Витальевна

 

 

 

 

Челябинск

2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

1. Экономический смысл множителей Лагранжа.

Во многих экономических моделях исследования операций зависимости между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелинейность. Как правило, такие показатели, как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и др., в действительности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т.п. нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования.

Математическая модель задачи нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор , удовлетворяющий системе ограничений:

и доставляющий экстремум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции

где xj - переменные;

j = 1, n, L, f, gi - заданные функции от n переменных;

bi - фиксированные значения.

В экономике это соответствует тому, что результаты деятельности предприятий возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов, например, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, и т. д.

Для задач нелинейного программирования, в отличие от линейных задач, нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, одним из которых является метод множителей Лагранжа.

Пусть дана задача математического программирования

где функции F(x) и g(x) непрерывные вместе со своими частными производными. Эта задача является классической задачей на условный экстремум. Чтобы ее решить используют функцию Лагранжа.

Функцией Лагранжа называют функцию:

,

где - множители Лагранжа.

Определим стационарные точки функции Лагранжа. Необходимые условия:

               .   (1)

Заметим, что вторая группа уравнений совпадает с ограничениями задачи. А если эти условия выполняются, то L(x, ) = F(x). Таким образом, решение системы (1) является не только стационарной точкой L(x, ), но и стационарной точкой F(x), удовлетворяющей ограничениям задачи. Следовательно,  решив систему (1), находят все точки, в которых целевая функция может иметь экстремум.

Существуют и достаточные условия, определяющие точки максимума или минимума или отсутствие экстремума. Эти условия определяются знаком второго дифференциала.

Алгоритм решения методом множителей Лагранжа

1. Составить функцию Лагранжа.

2. Найти и приравнять нулю.

3. Решая систему (1), находят точки, в которых F(x) может иметь экстремум.

4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значения F(x) в этих точках.

5. Определяют точки максимума и минимума.

Пример. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством х1 изделий на первом предприятии, равны 4х12 руб., а затраты, обусловленные изготовлением х2 изделий на втором предприятии, составляют 20х2 + 6х22 руб. Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальны.

Решение

1. Составим математическую модель.

.

2. Составим функцию Лагранжа

3.  ;      ;         .

4. 

, , .

Экономический смысл множителей Лагранжа

Пусть дана задача

Точка экстремума х*, F(x*) = F*. Если значения bi могут изменяться, то х* зависит от bi : х*j = xj(b) и

    (2)

С другой стороны, из ограничений следует

     (3)

(Если k-е ограничение дифференцируется по bi, то = 0)

Кроме того, в точке экстремума выполняются условия (1). Откуда

.

Подставив это выражение и (3) в (2), получим

.

Если интерпретировать F доход или стоимость, bi – как затраты некоторых ресурсов, то множители Лагранжа будут показывать, как изменится максимальный доход (или минимальная стоимость), если количество ресурса i-го вида увеличится на единицу.

Решим задачу максимизации полезности при заданных предпочтениях.

Дана функция полезности: , она непрерывна, цены положительны, доход положителен. Оптимальный уровень должен удовлетворять условию:

           (формула  предельной нормы замещения)

, т.к.

получаем

также должно выполняться бюджетное ограничение:

составляем функцию Лагранжа:

 — множитель Лагранжа.

Согласно теореме Лагранжа оптимальный выбор должен удовлетворять трем условиям первого порядка:

Все эти три уравнения представляют собой приравненные к нулю производные функции Лагранжа по . Последняя производная, по , есть не что иное, как бюджетное ограничение. В оптимальной точке множитель Лагранжа - это полезность траты дополнительной единицы денег, то есть, предельная полезность денежной единицы.

 

2. Матричные игры: определение и основные свойства матричных игр.

Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации была причиной возникновения теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций к рациональным действиям участников конфликта.

Математическая теория игр способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противни- ков, поэтому игры разделяются на парные и множественные. Если во множественной игре интересы игроков совпадают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными. Коалиции начинают выступать как отдельные игроки. После того как определен выигрыш в игре, коалиции могут распадаться для дележа выигрыша между отдельными игроками методами теории игр.

Игры могут быть бескоалиционными, когда целью каждого участника является получение максимального индивидуального выигрыша.

Игры могут быть кооперативными и некооперативными. Кооперативные - игры с ненулевой суммой, в которых игроки могут принимать решения по согласованию друг с другом, могут вступать в коалиции. Некооперативные игры - игры с числом участников не менее трех, в которых они могут принимать решения независимо друг от друга, так как согласование действий запрещено правилами игры.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при много- кратном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликт- ной ситуации, когда имеется два участника и когда выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой.

В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может за- писать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и на- оборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

Пусть у первого игрока три стратегии (варианта действия): А1, А2, А3; у второго игрока также три стратегии: В1, В2, В3 (таб.1).

Задача первого игрока — максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока — минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока.

Таблица 1

	B1 В1	B2 В2	B3 В3
А1 1	0	–1	–2
А2 2	1	0	–1
А3 3	2	1	0

Игру можно представить в виде матрицы, в которой строки - стратегии первого игрока, столбцы - стратегии второго игрока, а элементы матрицы - выигрыши первого игрока. Такую матрицу называют платежной.

Для данного примера платежная матрица имеет вид

   3 x 3

В общем случае парную игру с нулевой суммой можно записать платежной матрицей

   m x n

Задача каждого из игроков — найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число аij  в каждой строке обозначим ,

Зная , т. е. минимальные выигрыши при различных стратегиях Аi, первый игрок выберет ту стратегию, для которой максимально. Обозначим это максимальное значение - , тогда

Величина - гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, называется нижней ценой игры (максимином).

Аналогично для определения наилучшей стратегии второго игрока найдем максимальные значения выигрыша по столбцам, и выбрав из них минимальное значение, получим:

где — верхняя цена игры (минимакс).

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то он гарантирован, что в любом случае проиграет не больше .

Для матричной игры справедливо неравенство

Если , то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт) — седловой точкой матрицы.

В этом случае элемент аij = v называется ценой игры, является одновременно минимальным в i-й строке и j-м столбце.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

так как , матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока — А3 , второго — B3. Из таб.1 видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от B3 увеличивает его проигрыш.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т. е. , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m x n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей , с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых