Теорема4. Функция имеет по крайней мере один положительный нуль.

      Доказательство. Так как для любого

то 

и по теореме  о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции на имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число , такое, что .

      Теперь  справедливы следующие утверждения.

1. Функция имеет наименьший положительный нуль , иными словами, существует , такое, что .
2. Имеют место равенства:

3. Функция положительна на интервале , а функция - на интервале .
4. Функция возрастает на отрезке .
5. Функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке .
6. .
7. Нулями функции являются числа и только такие числа, а функции - числа
8. Функции и являются периодическими с наименьшим положительным периодом .
9. Имеют место формулы приведения:

10. Наименьший  положительный нуль функции  равен .

  Список литературы

1. Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович  М.И., Элементарные функции: Учеб. Пособие.- Мн.: Выш. шк., 1991.-140с.
2. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления: том I-Спб.: Издательство «Лань», 1997.-800с.