tify">Но при  имеем

      

т.е. . Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции неверно, и тем самым требуемое свойство доказано. 

      Обозначим наименьший положительный нуль функции  через . Выясним свойства функций и , прямо или косвенно связанные с числом ( ). 
 

6. Функция положительна на интервале и отрицательна на интервале .

 

7. Функция убывает на и возрастает на .

 

8. Числа вида и только эти числа являются нулями функции .

     Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2, ( ). Если же ( ), то . Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число ( ), такое что . Без ограничения общности (учитывая нечётность функции ) можем считать, что . Пусть . Положим . Очевидно, что . Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим

     

т.е. функция  имеет нуль в интервале вопреки определению числа . 

     

9. ,  ;   , .

 
     

10. Функция  положительна на и отрицательна на .

      Доказательство.

1. Докажем, что на .

, (по свойству 9). Найдём :

, т.к.  , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наименьший положительный нуль функции .

Учитывая, что  и свойство 7, получаем, что - наибольший отрицательный нуль функции .

      Таким образом, но интервале  функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция положительна в некоторой правосторонней окрестности точки (в силу того, что (по свойству 9) ). Следовательно, на всём интервале , следовательно,  и на . 

2. Докажем, что  на .

(по свойству 9).  Найдём  :

, т.к.  , то , следовательно , т.е . Учитывая свойство 7 получим, что - наибольший отрицательный нуль функции .

     Таким образом, но интервале  функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки (в силу того, что , ). Следовательно, на всём интервале . 
 
 

     

11. .

     Действительно, из равенства имеем , откуда, учитывая, что , получим . 

     

12. Функция возрастает на и убывает на .

     Доказательство. Прежде всего, функция непрерывна на каждом из отрезков и и дифференцируема на .

     Так как  , то учитывая свойство 10, на и на .Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.

     Замечание. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на и возрастает на . 

     

13. Функции , - периодические с периодом .

     Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что  ,  , имеем при любом :

      ,

      ,

т.е. - период функций , .

     Докажем теперь, что ни одна из функций  , не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции противоречит свойству 7, а если бы таким периодом обладала функция , то мы имели бы , т.е. , откуда . Поэтому , т.е. , что невозможно.

14. Нулями функции являются числа вида и только эти числа.

     Действительно, согласно тождеству  , нулями функции все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке (длина которого равна периоду функции ) имеет два решения: и (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений

      ,

уравнения можно объединить в одну:

      . 

     

15. Справедливы следующие тождества (формулы приведения):

     

     Доказательство. Убедимся, например, что  .

     Учитывая  свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем

      .

     Аналогично  убеждаемся в справедливости остальных  тождеств. 
 
 
 

     

16. Наименьший  положительный нуль функции  равен .

     Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости  круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как

      ,

то

     

     Вводя подстановку  и учитывая, что при возрастании от до функция (т.е. ) возрастает от до , получаем

     

     Итак, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций

 

     Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из степенными рядами, называются аналитическими в этом интервале.

     Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам. 

     Рассмотрим  степенные ряды

                                                                           (1)

                                                                      (2)

Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при  любом действительном , в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом

      ,

      .

     Следовательно, функции  и как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале . Более того, эти функции дифференцируемы на , причём

          

     

     Функция чётная, а нечётная, так как , для любого .

     Установим ещё некоторые свойства функций и . 

     Теорема1. Для любого действительного

      .                                                                                           (3)

     Доказательство. Имеем

     Коэффициент при  можно представить в виде

ибо - число сочетаний из элементов по

     Аналогично

     Коэффициент при  можно представить в виде

ибо

      При сложении и коэффициент при будет равен

      Выражение в скобках равно нулю, в чём  можно убедиться, полагая  , в формуле бинома Ньютона

      Таким образом, .

      Следствие. Функции и ограниченные, причём и

      Теорема 2.(теорема сложения для функций и ). Для любых действительных и

                                                                              (4)

                                                                               (5)

      Доказательство. Проверим формулу:

      

      Имеем:

      

     

     

     Рассмотрим  общий член этого ряда, содержащий произведения вида: , где . Получим

      

ибо

      Таким образом,

       .

      Используя чётность или нечётность функций  и , проверим справедливость формулы:

      

      Имеем

      

      Аналогично  проверяется справедливость формул

        

      Теорема3. Для любых действительных и функция удовлетворяет уравнению

                                                                                 (6)

      Доказательство. По определению функции имеем:

      

      

Вычислим  - общий член ряда для суммы

 

      Далее,

      

      

      Вычислим  - общий член ряда для произведения

      

ибо Получим, что при , а поскольку , то при любых действительных и имеет место равенство (6). 

      Замечание1. Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:

                                                                                            (7)

      Замечание2. Непосредственно из формул (3) и (7) получим: