Изгиб бруса

                                                                                                   (35)

        если  произвольная функция

                                                                             (36)

        Уравнение (26) с учетом выражения (36) для функции принимает вид:

                                                                  (37)

        Граничное условие (35) выполняется, если функция напряжений , которая должна также удовлетворять уравнению (37), имеет вид:

                                                                (38) 

        Подставив выражение (38) в уравнение (37), найдем, что последнее   удовлетворяется   при   следующем   значении   постоянной

                                                                                (39)

        Итак, функция напряжений , определяющая решение рассматриваемой задачи, представляется в виде: 

                                             (40)

        По  формулам (18) находим: 

                          (41)

        Для точек оси  поперечного сечения получаем: 

                        (42)

        т. е. имеем неравномерное, зависящее  от коэффициента Пуассона, распределение напряжений по горизонтальному диаметру. Касательное напряжение в центре сечения () равно: 

                                                      (43)

        Где – площадь поперечного сечения.

        В точках 1 и  имеем:

                                                                   (44)

        Так как то Из сопоставления формул (43) и (44) вытекает, что наибольшее касательное напряжение будет в центре сечения:

        Если  существенно больше, то имеем:

                                   (45)

        При максимальное значение напряжения может оказаться больше . Наибольшей величины напряжение достигает в точках,  для  которых  выражение: 

        имеет максимум, т. е. при . Эти точки являются точками пересечения контура эллиптического сечения с диагоналями описывающего его прямоугольника, т. е. точки (рис. 5). В этих точках имеем :

                             (46)

        Ha рис. 5 приведены эпюры напряжений вдоль оси и напряжений по линиям и при и

        Отметим, что касательные напряжения значительно  меньше максимального нормального напряжения в сечении , равного на основании (11)

                                                                     (47)

        С уменьшением отношения  уменьшается неравномерность распределения вдоль оси . Например, для круглого поперечного сечения () при по формулам (43) и (44) имеем: 

        В этом случае абсолютная погрешность элементарной теории изгиба б величине наибольшего касательного напряжения составляет около 4%.

        В произвольной точке круглого поперечного  сечения () на основании формул (41) имеем: 

                              )                      (48)

        Найдем  перемещения  произвольной точки круглого бруса при его поперечном изгибе. По формулам закона Гука

         

         

         

        и учитывая формулы (11) и (48), получаем:

              (49)

        На  основании и  

        найдем:

        Теперь  по формуле: 

        получим:

             (51) 

        Заметим, что если линия действия силы проходит через центр изгиба, то выражения (51) для перемещений и справедливы и при любой другой форме поперечного сечения.

        Если  окрестность точки, совпадающей с началом координат, закреплена так, что при , то все постоянные интегрирования и входящие в равенства (51), равны нулю.

        § 2. ЦЕНТР ИЗГИБА ДЛЯ БРУСА С ПОЛУКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

        Предполагается, что изгибающая сила приложена в центре изгиба (рис. 6) в направлении, перпендикулярном к оси симметрии сечения, и, следовательно, брус не скручивается.

        

        Рис. 6

        Чтобы иметь наиболее простую запись уравнения  контура сечения, начало координат О совместим не с центром тяжести сечения, а с центром полуокружности контура. Тогда уравнение (26) запишется так: 

                                                             (52)

        где— координата   центра тяжестипоперечного сечения. Примем:

                                                                                (53)

        тогда граничное условие (19) для функции напряжений Ф на полуокружности контура сечения приводится к виду

                                                                                           (54)

        Постоянное  значение функции на полуокружности АВК можно принять равным нулю:

                                                                                     (55)

        На  прямолинейном участке  контура сечения , поэтому согласно граничному условию (19) функция на участке должна удовлетворять также и условию (54), а с учетом непрерывности функции   принимаем

                                                                                             (56)

        Подставим выражение (53) для функции в уравнение (52): 

                                                                             (57)

        где

                                            (58) 

        На  основании мембранной аналогии правая часть уравнения (57) пропорциональна нагрузке на мембрану, равномерно натянутую на жесткий полукруглый контур. Это обстоятельство позволяет заключить, что функция напряжений должна быть четной относительно координаты , поэтому будем искать ее в следующем виде:

                                                                                                            (59) 

        Ссылаясь на (57), убеждаемся, что

        (

        поэтому подстановка выражения (59) для функции в уравнение (57) дает 

        Отсюда  находим, что при постоянных:

                                                   (60)

        выражение (59) для функции удовлетворяет уравнению (57). Обратимся к граничным условиям для функции Ф. Очевидно, что на прямолинейном участке контура () условие (56) выполняется только при нечетных значениях

        Следовательно, выражение (59) на полуокружности контура (принимает вид:

        ,

        а чтобы удовлетворялось условие (55),  необходимо

                                       (61)

        Для определения коэффициентов ряда равенства (61) умножим последнее на и проинтегрируем в пределах от .

        Учитывая,   что 

        и 

        Находим

                                                                                  (62)

        Тогда выражение (59) для функции напряжений принимает

        вид: 
 

        *                        (63) 

        Определим координату центра изгиба. Для этого предварительно вычислим момент по формуле (33), которая c учетом выражения (63) приводится к виду: